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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Do 24.02.2005 | | Autor: | Etron |
Hallo zusammen,
man soll den Verlauf folgender Funktion beschreiben (ohne TR-Benutzung):
(der Graph nähert sich den Verlauf von f(x)= x an)
[mm] f(x)=(e^{-x}+1)x [/mm] , [mm] x\ge [/mm] 0
Ich habe erstmal den Grenzwert gebildet
[mm] \limes_{x \to \infty} (e^{-x}+1)x [/mm]
Dabei geht der linke Fakor gegen 1 und der rechte gegen unendlich, damit geht die ganze Funktion --> [mm] \infty [/mm] und gegen den Verlauf x
Ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine. Meine Frage: Ist die Argumentation richtig und wenn ja, kann man das ganze noch etwas mathematischer formulieren?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Do 24.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Etron!
An sich ist Deine Argumentation ok, aber ...
... einen kleinen Logikknick hat sie schon!
> Dabei geht der linke Fakor gegen 1 und der rechte gegen
> unendlich, damit geht die ganze Funktion --> [mm]\infty[/mm] und
> gegen den Verlauf x
Du folgerst aus dem Grenzwert [mm] "$\infty$", [/mm] daß Deine Funktion gegen den Verlauf der Geraden $g(x) \ = \ x$ verläuft.
Das ist so natürlich nicht zwangsläufig.
Besser ist daher folgender Ansatz:
Wenn der Graph von $f(x)$ sich dem Graph von $g(x)$ annähern soll (für $x [mm] \rightarrow \infty$), [/mm] muß gelten: [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} \left[ \ f(x) - g(x) \ \right] [/mm] \ = \ 0$
Also: $f(x) - g(x) \ = \ [mm] \left(e^{-x} + 1\right) [/mm] * x - x \ = \ [mm] x*e^{-x} [/mm] + x - x \ = \ [mm] x*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{e^x}$
[/mm]
Dieser Ausdruck strebt nun wirklich gegen 0
(Nachweis mit  Grenzwertsatz nach de l'Hospital):
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(x)'}{\left(e^x\right)'} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$
Damit hast Du dann Dein gewünschtes Ergebnis ...
Alles klar nun?
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 24.02.2005 | | Autor: | Etron |
Deine Argumentation ist noch klarer, aber kann man auch so argumentieren, wenn man den Verlauf der Funktion nicht kennt?
Das meinte ich in meiner Ausgangsfrage mit "ohne TR-Benutzung". (vielleicht war das nicht ganz deutlich).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 24.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Etron!
Einen "Verdacht" muß man natürlich schon haben  ...
Aber diesen erhält man doch schon bald durch folgende Umformung:
$f(x) \ = \ [mm] \left( e^{-x} + 1 \right) [/mm] * x \ = \ [mm] x*e^{-x} [/mm] + x \ = \ [mm] \bruch{x}{e^x} [/mm] + x$
Hier sollte man dann erkennen, daß es sich bei dem Bruch um eine Nullfolge handelt.
Damit hast du auch schnell die Asymptote - nämlich der "Rest" der keine Nullfolge darstellt, hier: $g(x) = x$.
Hilft Dir das etwas weiter?
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Do 24.02.2005 | | Autor: | Etron |
Das hilft mir durchaus weiter.
Ich danke erneut!!
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