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Ist G eine Abbildung von [mm] \IR \to \IR?
[/mm]
G={(x³, x) : x Element von R)}
G={(x², x) : x Element von R)}
Wie kann ich die Aufgabe lösen?
Meine Grundidee wäre mal folgende:
x³ ist das Urbild
x ist das Bild
Wie geht's weiter?
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Die Frage ist, ob G eine eindeutige Zuordnung von Elementen aus [mm]\IR[/mm] zu Elementen aus [mm]\IR[/mm] ist.
Beim betrachten von [mm] G = \{ (x^2, x ) | x \in \IR \} [/mm] stellt man fest, dass es offenbar verschiedene x gibt, auf die [mm]x^2[/mm] abgebildet wird. Genauer sieht man, dass x und -x das gleiche Urbild haben.
Außerde, findet man, dass G gar nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist. Denn negative Zahlen lassen sich nicht als [mm] x^2[/mm] darstellen.
Also kann G keine Abbildung von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] definieren.
(Das ist auch der Grund, warum man die Wurzel entweder auf die Positiven Reellen zahlen einschränken, oder wie hier gegeben als Relation betrachten muss! )
Betrachtet man allerdings [mm] G = \{ (x^3, x ) | x \in \IR \} [/mm], so stellt sich heraus, dass G durch die Abbildung [mm] x \mapsto \wurzel[3]{x} [/mm] definiert wird. Im gegensatz zur Quadratwurzel ist die 3. Wurzel in den Reellen Zahlen aber eindeutig! (Denn [mm] -\wurzel[3]{x} = \wurzel[3] { - x } [/mm])
Daher kann G als Funktion aufgefasst werden werden.
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