Graphen m. Skal. + Trans. zeic < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion f(x)=(ax+b)^-2, wobei [mm] a\not=0 [/mm] und b Konstanten sind, kann aus dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x^-2 mittels Translationen und Skalierungen hergeleitet werden.
a) Schreiben sie f als Komposition von Translation(en), Skalierung(en) und der Funktion g. Skizzieren Sie unter der Benutzung dieser Erkenntnis den Graphen von f, ausgehend vom Graphen von g. |
Hallo,
Den 1. Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst. Unklar ist mir nur der Teil, wo der Graph f gezeichnet werden soll.
f(x)=(ax+b)^-2 g(x)=x^-2
s(x)=a*x
h:= s [mm] \circ [/mm] g
[mm] h(x)=\bruch{a*x}{2}
[/mm]
t(x)=x+b
f:= h [mm] \circ [/mm] t
[mm] f(x)=\bruch{a*x+b}{2}
[/mm]
Bis hierhin ist alles klar.
Nun Frage ich mich, wie ich den Graphen von f (ausgehend vom Graphen g) zeichnen soll....
Meine Idee wäre:
- Erst den Graph von g zeichnen.
- Dann den Graphen von h zeichnen, welcher um den Faktor a skaliert wird. Hier dann 2 Versionen von h zeichnen, einmal a<0 und einmal a>0.
- Dann den Graphen von f zeichnen, welcher um die Konstante b verschoben wird. Hier dann aber 4 Versionen.
1. Version: a<0 und b<0
2. Version: a<0 und b>0
3. Version a>0 und b>0
4. Version: a>0 und b<0
Bei jeder Zeichnung werden dann konkrete Werte für a und b eingesetzt.
Wäre das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht könntest du erst mal dein ergebnis von a) posten, oder soll das was du geschrieben hast a) sein?
> Der Graph der Funktion f(x)=(ac+b)^-2, wobei [mm]a\not=0[/mm] und b
> Konstanten sind, kann aus dem Graphen der Funktion g mit
> g(x)=x^-2 mittels Translationen und Skalierungen
> hergeleitet werden.
>
> a) Schreiben sie f als Komposition von Translation(en),
> Skalierung(en) und der Funktion g. Skizzieren Sie unter der
> Benutzung dieser Erkenntnis den Graphen von f, ausgehend
> vom Graphen von g.
> Hallo,
>
> Den 1. Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst. Unklar
> ist mir nur der Teil, wo der Graph f gezeichnet werden
> soll.
>
> f(x)=(ac+b)^-2 g(x)=x^-2
>
> s(x)=a*x
>
> h:= s [mm]\circ[/mm] g
[mm] s\circ [/mm] g heist du wendest erst g, dann s an! also ist [mm] h(x)=a*x^{-2} [/mm] bei deinem Vorgehen.
>
> [mm]h(x)=\bruch{a*x}{2}[/mm]
wie du auf den bruch kommst versteh ich nicht.
> t(x)=x+b
>
> f:= h [mm]\circ[/mm] t
>
> [mm]f(x)=\bruch{a*x+b}{2}[/mm]
>
mit deinem [mm] h(x)=\bruch{a*x}{2}
[/mm]
ergibt [mm] h\circ [/mm] t [mm] =\bruch{a*(x+b)}{2}
[/mm]
ich verstehe nicht was du gemacht hast.
wo ist g geblieben?
du sollst f(x)=g(t(s(x)) schreiben also [mm] f=g\circ [/mm] t [mm] \circ [/mm] s
oder mit anderem t und s [mm] f=g\circ s'\circ [/mm] t'
> Bis hierhin ist alles klar.
mir nicht. was hat dein f mit [mm] \bruch{a*(x+b)}{2} [/mm] zu tun?
> Nun Frage ich mich, wie ich den Graphen von f (ausgehend
> vom Graphen g) zeichnen soll....
>
> Meine Idee wäre:
> - Erst den Graph von g zeichnen.
> - Dann den Graphen von h zeichnen, welcher um den Faktor a
> skaliert wird. Hier dann 2 Versionen von h zeichnen, einmal
> a<0 und einmal a>0.
> - Dann den Graphen von f zeichnen, welcher um die
> Konstante b verschoben wird. Hier dann aber 4 Versionen.
> 1. Version: a<0 und b<0
> 2. Version: a<0 und b>0
> 3. Version a>0 und b>0
> 4. Version: a>0 und b<0
>
> Bei jeder Zeichnung werden dann konkrete Werte für a und b
> eingesetzt.
> Wäre das so richtig?
nein, du sollst g zeichnen, und nach und nach in f verwandeln, indem du translationen und dkalierungen darauf nwendest. ich machs mal am Bsp [mm] f(x)=(x-a)^2
[/mm]
[mm] g(x)=x^2
[/mm]
dann sollst du g um a nach rechts schieben falls a>0
dann bist du fertig.
2. Beispiel [mm] f=2*(x-3)^2-3 x^2 [/mm] zeichnen, 1. um 3 nach rechts schieben 2. mit Faktor 2 in y Richtung dehnen. bzw y- achse anders skalieren. 3. um 3 nach unten schieben.
die Beispiele sind nicht genau deinen entsprechend und sollen nur dein Verständnis erhöhen.
jetz bist du dran aber erst a) richtig machen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo leduart,
Ich weiß nicht, was du nicht an meiner Lösung zu a) nicht verstehst.
Ist doch alles richtig so?!
Ich habe folgendes gemacht:
Schreiben sie f als Komposition von Translation(en), Skalierung(en) und der Funktion g.
Zu der Zeichnung:
Deine Beispiele geben doch das ungefähr wieder, was ich vorgeschlagen hatte?
Meine Frage ist jetzt nur: Soll ich jeden meiner aufgeführten Fälle zeichnen? Oder wähle ich für a und b konkrete Werte aus, und zeichne f(x) dann nur einmal?
Weil je nachdem, ob a und/oder b positiv/negativ sind, sieht der Graph von f ja ganz anders aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich dachte ich hatte gesagz, dass dein a) falsch ist oder falsch aufgeschrieben. kannst du bitte s,t,f hinschreiben und sagen, wie daras f wird also s=, t=, g=
und [mm] f=g\circ [/mm] t [mm] \circ [/mm] s oder in deiner Reihenfolge. bzw f(x)=g(t(s(x))
du hast mir noch nicht verraten, was f [mm] =\bruch{ax+b}(2)mit [/mm] der Aufgabe zu tun hat.
gerschrieben hast du, dass du h(x) zeichnest, ich wollte z.B g(x) zeichnen , dann g(t(x)) zeichnen dann g(t(s(x)) usw
ich würde immer nur ein a oder b verwenden, evt dazuschreiben: a<0 bewirkt..
sonst höchstens 2 Paare von a,b
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
f:= s [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] t = s(g(t(x)))
= s(g(x+b))
= [mm] s(\bruch{x+b}{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{a*x+b}{2}
[/mm]
So habe ich von g auf f gekommen.
Zu der Zeichnung:
Ich zeichne also erstmal [mm] g(x)=\bruch{x}{2}
[/mm]
Dann zeichne ich [mm] h(x)=\bruch{a*x}{2} [/mm] mit z.b. a<0
Dann zeichne ich [mm] f(x)=\bruch{a*x+b}{2} [/mm] mit z.b. a<0 und b<0.
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem ersten post stand [mm] f(x)=(ax+b)^{-2}
[/mm]
jetzt schreibst du [mm] f(x)=\bruch{ax+b}{2}
[/mm]
das sind 2 völlig verschiedene funktionen.
dann wäre ja [mm] g(x)=\bruch{x}{2}
[/mm]
da stand aber auch [mm] g(x)=x^{-2}
[/mm]
wenn [mm] f(x)=\bruch{ax+b}{2} [/mm] ist hast du auch nicht recht
mit s(x)=a*x, t(x)=x+b, g(x)= [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] g(s(t(x))=g(s(x+b)=g(a*(x+b))=\bruch{ax+ab}{2}
[/mm]
dasselbe kommt für s(g(t(x)) raus
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 15.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Ach jetzt habe ich verstanden, was du meinst.
Ich habe die Potenzregeln völlig durcheinander geworfen, SORRY!
Natürlich ist
f(x)=(ax+b)^-2
[mm] \gdw f(x)=\bruch{1}{(ax+b)^2}
[/mm]
und
g(x)=x^-2
[mm] \gdw g(x)=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Außerdem ist kommt in f(x) kein "c" vor, sondern ein "x". Hab mich da vertippt, sorry!!!
Das sieht jetzt viel schwerer aus...
Also hier wüsste ich nicht, wie ich von g(x) mittels Translation und Skalierung auf f(x) kommen soll.
Meine Idee wäre:
[mm] s(x)=\bruch{1}{a}*x
[/mm]
h:= s [mm] \circ [/mm] g
[mm] h(x)=\bruch{1}{a*x^2}
[/mm]
t(x)=x+b
f:= h [mm] \circ [/mm] t
[mm] f(x)=\bruch{1}{a*x^2+b}
[/mm]
Aber das ist ja nicht richtig. Im Nenner muss ja [mm] (a*x+b)^2 [/mm] stehen, und ich komme nur auf [mm] (a*x^2+b)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. f(x)=g(ax+b)
h(x)=ax+b
[mm] f=g\circ [/mm] h
jetzt h(x) aus s(x) und t(x) zusammensetzen:
2 Möglichkeiten :
a)h(x)=a*(x+b/a)
t(x)=x+b/a)
s(x)=a*x
h(x)=s(t(x))
[mm] f=g\circ s\circ [/mm] t
b) h=ax+b
[mm] t_1=x+b
[/mm]
[mm] s_1=a*x
[/mm]
h(x)=t(s(x))
[mm] f=g\circ t_1\circ s_1
[/mm]
d.h. man kann erst verschieben, dann skalieren oder mit anderen funktionen erst skalieren, dann verschieben
jetz setz das in ne Zeichnung um was musst du mit dem graphen von [mm] 1/x^2 [/mm] mit dem du startest machen?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:59 So 15.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Danke, jetzt hab ich es verstanden!
> jetz setz das in ne Zeichnung um was musst du mit dem
> graphen von [mm]1/x^2[/mm] mit dem du startest machen?
> Gruss leduart
1. Ich zeichne g(x)=x^-2
2. Ich zeichne k(x)=(a*x)^-2 um den Faktor a skaliert. Hier würde ich dann für a einen konkreten Wert einsetzen, z.b. a=2
3. Ich zeichne f(x)=(a*x+b)^-2 um den Faktir a skaliert und um b verschoben. Z.b. für a=2 und b=5
Dann würde ich noch dazuschreiben, wie sich der Graph verändert, wenn a und/oder b negativ wären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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