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Forum "Vektoren" - Gravierende Probleme
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Gravierende Probleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Di 16.06.2009
Autor: Dinker

Aufgabe
Geben sind die Punkte A(-1/1) und C(5/9)
Ein Kreis, dessen Mittelpunkt im 1. Quadrant liegt, hat Radius 10 und berührt sowohl die x-Achse als auch die gerade AC. berechnen Sie die Koordinaten seines Mittelpunktes sowie den Abstand zwischen den beiden berührungspunkten

Guten Abend

Ich bin gerade etwas perplex


Ich lass euch mal an meinem Gedankengut teilhaben.


1. v = r = 10
2. Ich verschiebe mal die Gerade welche durch den Punkt A und C geht um 10.
Diese gerade lautet: y = [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] -14
d. h. v = [mm] \bruch{4}{3}u [/mm] -14

Ach, jetzt sollte doch v = 10 sein?

10 = [mm] \bruch{4}{3}u [/mm] -14

u = 18

M(18/10)

Was soll ich nun machen?

Such mal einen Schnittpunkt
y = - [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] + 23.5

- [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] + 23.5 = [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{8}{3} [/mm]

x = 10 [mm] \to [/mm] P(10/16)

Der andere Punkt sollte sein: (18/0)

Das wäre dann ein Abstand von [mm] \wurzel{320} [/mm]

Danke
gruss Dinker
.



        
Bezug
Gravierende Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Di 16.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, deine Gerade durch die Punkte A und C kannst du doch nicht verschieben, sie lautet [mm] y=\bruch{4}{3}x+\bruch{7}{3}, [/mm] der Mittelpunkt M liegt auf einer Parallelen zur x-Achse, y=10, diese Parallele und die Gerade schneiden sich im Punkt S, weiterhin liegt der Punkt M auf einer orthogonalen Gerade zu [mm] y=\bruch{4}{3}x+\bruch{7}{3}, [/mm] der Abstand beträgt ebenso 10, überlege dir nun, was kennst du alles im Dreieck SMD

[Dateianhang nicht öffentlich]

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Di 16.06.2009
Autor: Dinker

Mein Mittelpunkt scheint ja fast zu stimmen

Bezug
                
Bezug
Gravierende Probleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mi 17.06.2009
Autor: Dinker

Hallo

Ich versuchs auch noch auf diese Variante

S(5.75/10)

Gerade durch Punkt M und D
y = - [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] + 10 + [mm] \bruch{3}{4}u [/mm]

Nun lasse ich diese Gerade mit der Gerade durch die Punkte A und D schneiden

- [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] + 10 + [mm] \bruch{3}{4}u [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{7}{3} [/mm]

x = [mm] \bruch{92}{25} [/mm] + [mm] \bruch{9}{25}u [/mm]
[mm] D(\bruch{92}{25} [/mm] + [mm] \bruch{9}{25}u/\bruch{181}{25} [/mm] + [mm] \bruch{12}{25}u [/mm]

[mm] \overrightarrow{MD} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{92}{25} - \bruch{16}{25} u \\ \bruch{12}{25} - \bruch{69}{25}} [/mm]

Nun muss dieser Abstand 10 geben.
Doch es wird anders kompliziert, deshalb muss mir irgendwo ein Fehler unterlaufen sein.

Danke
gruss Dinker






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Gravierende Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mi 17.06.2009
Autor: weduwe


> Hallo
>  
> Ich versuchs auch noch auf diese Variante
>  
> S(5.75/10)
>  
> Gerade durch Punkt M und D
>  y = - [mm]\bruch{3}{4}x[/mm] + 10 + [mm]\bruch{3}{4}u[/mm]
>  
> Nun lasse ich diese Gerade mit der Gerade durch die Punkte
> A und D schneiden
>  
> - [mm]\bruch{3}{4}x[/mm] + 10 + [mm]\bruch{3}{4}u[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}x[/mm] +
> [mm]\bruch{7}{3}[/mm]
>  
> x = [mm]\bruch{92}{25}[/mm] + [mm]\bruch{9}{25}u[/mm]
>  [mm]D(\bruch{92}{25}[/mm] + [mm]\bruch{9}{25}u/\bruch{181}{25}[/mm] +
> [mm]\bruch{12}{25}u[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{MD}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{92}{25} - \bruch{16}{25} u \\ \bruch{12}{25} - \bruch{69}{25}}[/mm]
>  
> Nun muss dieser Abstand 10 geben.
>  Doch es wird anders kompliziert, deshalb muss mir irgendwo
> ein Fehler unterlaufen sein.
>  
> Danke
>  gruss Dinker
>  
>
>
>
>  

so würde ich es machen

offensichtlich gilt ja M(m/r)
die gleichung der tangente lautet
[mm]4x-3y+7=0[/mm]

HNF: [mm] \frac{4m-3r+7}{5}=\pm r\to \frac{4m-30+7}{5}=10\to m=\frac{73}{4}>0 [/mm]

fertig :-)

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Gravierende Probleme: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:46 Mi 17.06.2009
Autor: Dinker

Hallo

Ich kann leider deinen Ausführungen nicht folgen

Danke
gruss Dinker

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Bezug
Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Mi 17.06.2009
Autor: weduwe


> Hallo
>  
> Ich kann leider deinen Ausführungen nicht folgen
>  
> Danke
>  gruss Dinker

und ich bin leider kein hellseher.
woran happert es denn?


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Gravierende Probleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Do 18.06.2009
Autor: Dinker

Hallo

Das verstehe ich nicht:

>  [mm]4x-3y+7=0[/mm]
>  
> HNF: [mm]\frac{4m-3r+7}{5}=\pm r\to \frac{4m-30+7}{5}=10\to m=\frac{73}{4}>0[/mm]

Wa sist damit gemeint?

Danke

>  
> fertig :-)


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Gravierende Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Do 18.06.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo
>  
> Das verstehe ich nicht:
>  >  [mm]4x-3y+7=0[/mm]

Hallo,

das war die Gleichung einer  Tangente an den Kreis mit dem Radius r=10 mit dem Mittelpunkt M(m|10).

> > MBHNF

Das steht für MBHessenormalform.
Gibt's die bei Euch? Habt Ihr die?

Wenn ja, dann geht's weiter:

Obige Geradengleichung kann man durch Normieren des Normalenvektors auf HNF bringen, man erhält [mm] \frac{4x-3y+7}{5}=0, [/mm] oder, wenn man diese Darstellung mehr mag: [mm] \vektor{\frac{4}{5}\\\frac{-3}{5}}*\vec{x}+\frac{7}{5}=0. [/mm]

Mithilfe der HNF kann man die Abstände von Punkten zur Geraden sehr einfach berechnen: man setzt links den Punkt ein und bekommt rechts den Abstand von der Geraden, das Vorzeichen gibt die Lage bzgl des Nullpunktes an.

Wenn wir hier den Mittelpunkt des Kreises einsetzen, muß als Abstand der Kreisradius herauskommen, denn die Gerade ist eine Tangente an den Kreis.

Also weiß man, daß gilt: [mm] \frac{4m-3*10+7}{5}=\pm [/mm] 10.

Hieraus kann man sich nun das m errechnen. Wegen des [mm] \pm [/mm] 10 bekommt man zwei Lösungen, von denen aufgrund der Angabe, daß der Mittelpunkt im 1.Quadranten liegt, die positiv Lösung die ist, die man sucht.

So würde weduwes Lösung mit ein paar großzügig (und zeitaufwendig) spendierten Worten aussehen.

Gruß v. Angela


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Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Do 18.06.2009
Autor: weduwe



> > Hallo
>  >  
> > Das verstehe ich nicht:
>  >  >  [mm]4x-3y+7=0[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> das war die Gleichung einer  Tangente an den Kreis mit dem
> Radius r=10 mit dem Mittelpunkt M(m|10).
>  
> > > HNF
>  
> Das steht für Hessenormalform.
>  Gibt's die bei Euch? Habt Ihr die?
>  
> Wenn ja, dann geht's weiter:
>  
> Obige Geradengleichung kann man durch Normieren des
> Normalenvektors auf HNF bringen, man erhält
> [mm]\frac{4x-3y+7}{5}=0,[/mm] oder, wenn man diese Darstellung mehr
> mag:
> [mm]\vektor{frac{4}{5}\\frac{-3}{5}}*\vec{x}+frac{7}{5}=0.[/mm]
>  
> Mithilfe der HNF kann man die Abstände von Punkten zur
> Geraden sehr einfach berechnen: man setzt links den Punkt
> ein und bekommt rechts den Abstand von der Geraden, das
> Vorzeichen gibt die Lage bzgl des Nullpunktes an.
>  
> Wenn wir hier den Mittelpunkt des Kreises einsetzen, muß
> als Abstand der Kreisradius herauskommen, denn die Gerade
> ist eine Tangente an den Kreis.
>  
> Also weiß man, daß gilt: [mm]\frac{4m-3*10+7}{5}=\pm[/mm] 10.
>  
> Hieraus kann man sich nun das m errechnen. Wegen des [mm]\pm[/mm] 10
> bekommt man zwei Lösungen, von denen aufgrund der Angabe,
> daß der Mittelpunkt im 1.Quadranten liegt, die positiv
> Lösung die ist, die man sucht.
>  
> So würde weduwes Lösung mit ein paar großzügig (und
> zeitaufwendig) spendierten Worten aussehen.
>  
> Gruß v. Angela
>  

ich bin zerknirscht,
aber ich wollte ja nur eine (einfache?) alternative zu dem weg über die winkelhalbierende aufzeigen


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Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Do 18.06.2009
Autor: angela.h.b.


> > So würde weduwes Lösung mit ein paar großzügig (und
> > zeitaufwendig) spendierten Worten aussehen.
>  >  
> > Gruß v. Angela
>  >  
>
> ich bin zerknirscht,

Oh, nicht doch!

Falls Du diese kleinen Seitenhiebe oben meintest, so gingen sie gar nicht an Dich...

> aber ich wollte ja nur eine (einfache?) alternative zu dem
> weg über die winkelhalbierende aufzeigen

Ja, ich finde das gut.

Die Denkweise in Sachen Geometrie ist sehr verschieden, und gerade wenn man lehrt und erklärt, ist es wichtig, daß man den Lernenden verschiedene Vorgehensweisen vorstellen und sich auf verschiedene Wege einlassen kann.

Man könnte über das Thema allerlei plaudern - aber nicht hier.

Gruß v. Angela









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Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Do 18.06.2009
Autor: weduwe

das ist doch das salz in der suppe :-)

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Gravierende Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Do 18.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, ich habe die Idee angeregt, über das Dreieck SMD zu gehen, wo ist es hingelaufen? Na gut, überlege dir, was bekannt ist:

- rechtwinkliges Dreieck
- [mm] \overline{DM}=10 [/mm] bekannt aus dem Radius
- Winkel DSM beträgt [mm] 53,13010235^{0} [/mm] bekommst du aus [mm] tan(
jetzt bist du fast am Ziel, im rechtwinkligen Dreieck gilt

[mm] sin(
[mm] \overline{SM}=\bruch{10}{sin(53,13010235^{0})} [/mm]

[mm] \overline{SM}=12,5 [/mm]

der Punkt S liegt an der Stelle x=5,75, addiere 12,5, du hast den Punkt M an der Stelle [mm] 18,25=\bruch{73}{4} [/mm]

Steffi

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Gravierende Probleme: andere Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Di 16.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Dinker!


Der gesuchte Kreismittelpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden zwischen gegebener Gerade [mm] $g_{AC}$ [/mm] und der x-Achse.


Gruß
Loddar


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Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Di 16.06.2009
Autor: Dinker

Hallo

Kann mir jemand die Lösung angeben?
Möchte morgen nochmals die Aufgabe machen

Danke
gruss DInker

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Gravierende Probleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Di 16.06.2009
Autor: weduwe

[mm] M(\frac{73}{4}/10) [/mm]

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Gravierende Probleme: Stimmt nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Di 16.06.2009
Autor: Dinker

Hallo

Meinst du AC?

Diese gerade schliesst mit der X Achse einen Winkel von 53.13°...ein
halbierende: 53.13°/2 = 26.565... nun nehme ich den Tangents gibt m = 0.5

1 = -0.5 + n
n = 1.5

Also ist die Gerade
y = 0.5x + 1.5
oder
v = 0.5u+1.5
10 = 0.5u + 1.5
u = 17
Das ist ja falsch

Danke
gruss Dinker
v = 10

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Gravierende Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Di 16.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, dein Anstiegswinkel ist ok, m=0,5 ist auch ok, gehst du über die Winkelhalbierende, so benötigst du doch den Scheitelpunkt des Winkels, der Schnittpunkt der Funktion [mm] y_1=\bruch{4}{3}x+\bruch{7}{3} [/mm] mit der x-Achse, der lautet [mm] (-\bruch{7}{4};0), [/mm] dieser Punkt liegt auch auf deiner Winkelhalbierenden, also

[mm] (-\bruch{7}{4};0) [/mm] einsetzen in

[mm] y_2=\bruch{1}{2}x+n [/mm]

[mm] 0=\bruch{1}{2}*(-\bruch{7}{4})+n [/mm]

[mm] n=\bruch{7}{8} [/mm] jetzt hast du die Winkelhalbierende

[mm] y_2=\bruch{1}{2}x+\bruch{7}{8} [/mm]

um die Schnittstelle deiner Parallelen und der Winkelhalbierenden, also den Mittelpunkt M des Kreises, zu bekommen

[mm] 10=\bruch{1}{2}x+\bruch{7}{8} [/mm]

[mm] x=\bruch{73}{4} [/mm]

Steffi



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