Gravitationsfeld eines Stabes < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Berechnen Sie die Gravitationskraft eines homogenen Stabes der Länge l und der Masse M auf ein
punktförmiges Teilchen der Masse m, das sich im Abstand b vom Stab in einer Ebene senkrecht zum Stab
durch den Stabmittelpunkt befindet.
(b) Der Stab der Länge l = 5 m habe nun eine Masse von M = 20 k g und sei zu einem Halbkreis
gebogen. Berechnen Sie die Gravitationskraft auf eine Punktmasse m = 0, 1 k g im Zentrum dieses
Halbkreises. |
Hallo :)
Ich komme leider bei dieser Frage nicht weiter -.- Ich weiß nur das ich wahrscheinlich über die Masse des Stabes integrieren muss, und das ja mittels eines Volumenintegrals. Da fängt es schon an, wieso hat ein Körper der nur Länge l hat ein Volumen haben?? Ok wenn das so richtig ist würde ich dann ein dreifach Integral dieser Art machen:
V = [mm] \integral_{z=0}^{l}{[\integral_{y=0}^{l}{(\integral_{x=0}^{l}{ dx})dy}]dy}
[/mm]
Wenn ich jetzt das Ergebniss davon noch mit der konstanten Diche multipliziere hab ich ja die Masse. Diese würde ich dann in die Formel für die effektive potentielle Energie einsetzen:
[mm] E_{p} [/mm] = -G * [mm] \bruch{mM}{r} [/mm] + [mm] \bruch{L^2}{2mr²} [/mm] Wobei r = b . Bei dieser Formel bin ich mir auch nicht sicher. Im Demtröder steht das bei konstantem r dieser Formel gilt:
(also dann als Differential)
[mm] dE_{p} [/mm] = -G [mm] \bruch{mdM}{r}
[/mm]
Aber bei dem Stab sind ja die Abstände unterschiedlich was ist jetzt richtig? hm
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 07.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Da kein Durchmesser des Stabs gegeben ist, kannst Du davon ausgehen, dass der Stab dünn ist. Seine Masse ist also auf einer Stecke der Länge L verteilt. Du musst also nur ein Integral hinschreiben.
Die Anziehungskraft wird mit dem Gravitationsgesetz berechnet. Nun musst Du die eine Masse durch ein dm ersetzen und alle dm mit einem Integral aufsammeln, bis Du den Stab zusammen hast. Dabei integrierst Du von einem Ende des Stabs bis zum anderen, also [mm] $\int_{-\bruch{L}{2}}^{\bruch{L}{2}} \ldots [/mm] dx$ Du musst also noch das dm in ein dx umformen und bedenken, dass sich der Abstand im Gravitationsgesetz mit dem Wert von x ändert.
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Hallo chrisno, danke für die Antwort :)
Muss ich für die Masse wirklich ein Integral ausrechnen? Also ich habe eine ähnliche Aufgabe in einem Buch gefunden, da heißt es, das die Masse von einem gleichförmige Stab wäre einfach:
dm = [mm] \lambda [/mm] dx mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{m}{l} [/mm] Wobei ich nicht verstehe wie die da drauf kommen. Ich hätte dann einfach nur die Formel für die Dichte genommen:
[mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{m}{V} [/mm] Da V ja einfach x ist wird das:
dx * [mm] \rho [/mm] = dm Wobei [mm] \rho [/mm] eine Konstante ist, aber wie kommen die auf: [mm] \bruch{m}{l} [/mm] ?
Ah und wieso sind die Integrationsgrenze bei l/2? Geht nicht auch l ?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Fr 08.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> Muss ich für die Masse wirklich ein Integral ausrechnen?
Nein, nicht für die Masse. Für die Kraft musst Du über alle Massenelemente die zur Kraft beitragen integrieren.
> Also ich habe eine ähnliche Aufgabe in einem Buch
> gefunden, da heißt es, das die Masse von einem
> gleichförmige Stab wäre einfach:
>
> dm = [mm]\lambda[/mm] dx mit [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{m}{l}[/mm] Wobei ich nicht
> verstehe wie die da drauf kommen.
Das ist das, was ich Dir geschrieben habe. Das dm wird durch ein dx ersetzt. Das ist möglich, weil die Masse gleichförmig verteilt ist. Genau das steht auch in dieser Gleichung:
Wenn der Stab in lauter gleich lange Stücke der Länge dx zerlegt wird, dann hat jedes Stück de Masse dm. Alle Massen dm addiert (integriert) zusammen ergeben die Masse m. Alle Längen dx addiert (integriert) zusammen ergeben die Gesamtlänge l. Da die Dichte überall gleich ist, gilt also [mm] $\bruch{dm}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{m}{l}$.
[/mm]
> Ich hätte dann einfach
> nur die Formel für die Dichte genommen:
> [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{m}{V}[/mm] Da V ja einfach x ist wird das:
Nein, V ist nicht x, das stimmt schon mit den Einheiten nicht. $V = x [mm] \cdot [/mm] A$
>
> dx * [mm]\rho[/mm] = dm Wobei [mm]\rho[/mm] eine Konstante ist, aber wie
$dx [mm] \cdot [/mm] A [mm] \cdot \rho [/mm] = dm$ und $A [mm] \cdot \rho [/mm] = [mm] \lambda$
[/mm]
> kommen die auf: [mm]\bruch{m}{l}[/mm] ?
> Ah und wieso sind die Integrationsgrenze bei l/2? Geht
> nicht auch l ?
und 0. Ja natürlich, das hängt doch davon ab wie Du da Problem ansetzt. Ich halte es allerdings für wesentlich günstiger, von vornherein die Symmetrie auszunutzen.
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Achsooo, wenn ich jetzt z.b. ein Diagramm hätte das mir den Massenzuwach zeigt(m-x-Diagramm) dann wäre das z.b. eine Ursprungsgerade, und wenn ich die Steigung davon will teile ich ja y)(m) durch x und das gibt ja eine Konstante, ist so die Herleitung??
Ok also ich hab dann jetzt:
(weil ich ja die Kraft haben will muss ich die Energie Integrieren)
[mm] E_{p} [/mm] = [mm] -Gm\lambda \integral_{-\bruch{l}{2}}^{l/2}{\bruch{dx}{r}}
[/mm]
Da der Stab ja von der y-Achse halbiert wird liegt die Masse m auf der y-Achse und der Abstand der Massepunkt vom Stab müsste dann d*sinx sein oder? Also das setze ich dann für r ein.
[mm] E_{p} [/mm] = [mm] -Gm\lambda \integral_{-\bruch{l}{2}}^{l/2}{\bruch{dx}{d*sinx}}
[/mm]
Stimmt das bis jetzt so??
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Fr 08.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Aus Symmetrieruenden hast du nur eine Kraft senkrecht zur Stab= x Richtung.
die Probemasse sei bie x=0 und y. berechne die Kraft , die von dm an der Stelle x wirkt und integriere dann von -L/2 bis +L/2
wieso willst du die energie ausrechnen?
, wenn nach der Kraft gefragt it. eine kleine Skizze hilft dir [mm] F_y [/mm] auszurechnen.
Gruss leduart
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hi leduart
Wenn ich die Energie Ableite bekomm ich ja die Kraft^^
Gruß
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Ok also noch mal ein anderer Versuch:
G ist jetzt das Gravitationsfeld:
dG = -G [mm] \bruch{\lambda dx }{(x^2+y^2} [/mm]
Weil ich jetzt r = [mm] \wurzel[2]{x²+y²} [/mm] genommen hab.
Und dann eben das Integral:
dG = -G [mm] \lambda \integral_{-\bruch{l}{2}}^{l/2}{\bruch{1}{x²+y²} dx}
[/mm]
Wenn ich das jetzt integriere kommen sehr merkwürdige Sachen raus -.- das kann glaub ich nicht stimmen....
Gruß^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 08.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. verwende nicht das [mm] x^2 [/mm] dr tastatur, das verschwindet in formeln. sieh dir deine post vor abschicken mit vorschau an.
2. du integrierst über den Betrag der Gesamtkraft! die ist ein vektor. da sich aber die <<<krafte n x richtung aufheben, musst du nur [mm] G_y [/mm] berechnen, also die y- Komponente, dann ist dein Integral falsch!
natuerlich kannst du auch die energie ausrechnen , und dann differenzieren, aber warum den Umweg. (allerdings die formel mit sinx ist falsch x ist eine laenge, sin(Länge) gibt es nicht.
gruss leduart
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Ja ich hab doch schon wieder etwas neues geschrieben^^ das mit x²+y²
Welchen post meinst du jetzt??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Fr 08.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Schreibe mal die Kraft zwischen einem Massenelement dm an der Position x und der anderen Masse hin.
Danach ist das Integral dran.
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Hallo :)
Ok also das ist die Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich nur die grüne Linie als Kraft nehm, dann sind das die Kräfte:
[mm] G_{x} [/mm] = 0
[mm] G_{y} [/mm] = [mm] -\bruch{\Gamma m}{r^2} [/mm] Und der Abstand r also d ist doch einfach nur [mm] y_{0}-y [/mm] oder? Dann halt noch das mit der Masse, und ich hab dann dieses Integral:
[mm] G_{y} [/mm] = [mm] -\Gamma \lambda \integral_{-l/2}^{l/2}{ \bruch{1}{(y_{0}-y)^2} dx}
[/mm]
Aber ist es nicht so das die blauen Linien auch dazu gehören? Jeder Punkt von dem Stab wirkt doch auf die Masse, darum bräuchte ich doch eine Funktion die von einem Winkel abhängt oder?
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Sa 09.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte lies posts genauer und nichz in 2 Minute! ich hatte geschrieben, du sollst KLLE y Komponenten der Kraft aufsummieren, jetzt hast du nur das mittkere Stoeck im abstad y hrnommen. zerlege den Kraftvektor su jedem Ponkt x in x und y richtung. warum must du dann nur die y- Komponenten addieren? wie grss sind sie in abhaengigkeit von x? )ähnliche dreiecke!
Gruss leduart
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Ja tut mir leid, bin schwer von Begriff :( , danke danke :)
Achso, es zählen nur die y-Komponenten weil wenn ich über alle x Summiere ergeben die ja Null, weil die Elemente von links(-) sich mit denen von rechts(+) aufheben? Bei den y Anteilen gibts ja nur positive.
Also dann so halt:
r = [mm] \wurzel[2]{x²+y²}
[/mm]
[mm] G_{y} [/mm] = [mm] -\Gamma \lambda \integral_{-l/2}^{l/2}{ \bruch{1}{(x^2+y^2)}*sin \alpha dx}
[/mm]
hm soll ich vielleicht irgendwie den sinus raus ziehen oder sowas? Wenn ich da das Integral ausrechnen muss bekomm ich jetzt schon Alpträume.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Sa 09.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ja tut mir leid, bin schwer von Begriff :( , danke danke
> :)
>
> Achso, es zählen nur die y-Komponenten weil wenn ich über
> alle x Summiere ergeben die ja Null, weil die Elemente von
> links(-) sich mit denen von rechts(+) aufheben? Bei den y
> Anteilen gibts ja nur positive.
genau.
>
> Also dann so halt:
> r = [mm]\wurzel[2]{x²+y²}[/mm]
Nein, es gilt: [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
> [mm]G_{y}[/mm] = [mm]-\Gamma \lambda \integral_{-l/2}^{l/2}{ \bruch{1}{(x^2+y^2)}*sin \alpha dx}[/mm]
Warum sträubst Du Dich so dagegen, direkt das auszurechnen was verlangt wird? Es ist weder nach einem Gravitationsfeld, noch nach einer Energie gefragt.
Und was soll dieses [mm] $\Gamma$ [/mm] sein? Hast Du das irgendwo definiert?
Das Gleiche gilt für den Winkel [mm] $\alpha$. [/mm] Wenn Du nicht sagst, welcher Winkel das ist, kann man Dir auch nicht sagen, obs stimmt.
>
> hm soll ich vielleicht irgendwie den sinus raus ziehen oder
> sowas? Wenn ich da das Integral ausrechnen muss bekomm ich
Du kannst den sin nicht rausziehen, der hängt nämlich von x ab.
> jetzt schon Alpträume.
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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Hallo notinX das Gamma ist die Gravitationskonstante und der sinus soll der Winkel von den (fast) blauen linien in der Zeichnung sein. Aber das mit dem sinus ist wahrscheinlich eh falsch.
Gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Sa 09.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinX das Gamma ist die Gravitationskonstante und
> der sinus soll der Winkel von den (fast) blauen linien in
> der Zeichnung sein. Aber das mit dem sinus ist
> wahrscheinlich eh falsch.
>
> Gruß :)
Die Gravitationskonstante wird in der Regel mit 'G' gekennzeichnet, nicht mit [mm] $\Gamma$. [/mm] Ein Winkel ist immer eine relative Größe zwischen zwei Objekten. Es macht keinen Sinn vom Winkel einer Linie zu sprechen. Je nachdem, ob Du den Winkel zur x- oder y-Achse meinst stimmts.
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 09.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst deinen sin durch x und y ausdruecken auch hier hatte dir mein post einen weg gezeigt. Warum gehst du nicht wirklich auf posts ein, gegebenenfalls mit nachfragen, auf jeden fall mit langsamen und genauem lesen. etwa so:" was meint leduart wohl mit ähnlichen Dreiecken)?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 20.06.2012 | | Autor: | PhysikGnom |
Danke für die Hilfe an alle, hab die Aufgaben dann mehr oder weniger gut zu Ende bringen können :)
Gruß
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