GreenFunktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 04.05.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | a) Berechnen sie zu
[mm] -\partial_{xx} [/mm] u= f in (0,1) und u(0)=u(1)=0 die Greenfunktion.
b) ebenfalls für [mm] -\partial_{xx} u+\partial_x [/mm] =f in (0,1) und u(0)=u(1).(Hinweis: variation der konstanten) |
hi ich weiß nicht wie ich das vorgehen muss.
ich weiß, dass die greensche funktion die lösung der gleichung ist mit der delta funktion als inhomogenität. leider weiß ich nicht wie ich die randbedingungen einbauen soll. und wie genau man bei so einer aufgabe vorgehen muss.
kann mir da jemand helfen?
viele grüße
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Hallo aly19,
> a) Berechnen sie zu
> [mm]-\partial_{xx}[/mm] u= f in (0,1) und u(0)=u(1)=0 die
> Greenfunktion.
> b) ebenfalls für [mm]-\partial_{xx} u+\partial_x[/mm] =f in (0,1)
> und u(0)=u(1).(Hinweis: variation der konstanten)
>
> hi ich weiß nicht wie ich das vorgehen muss.
> ich weiß, dass die greensche funktion die lösung der
> gleichung ist mit der delta funktion als inhomogenität.
> leider weiß ich nicht wie ich die randbedingungen einbauen
> soll. und wie genau man bei so einer aufgabe vorgehen muss.
> kann mir da jemand helfen?
Das Randwerproblem schreibt sich so:
[mm]Lu:=\left(-1*u'\right)'=f\left(x\right)[/mm]
[mm]R_{1}u:=u\left(0\right)=0[/mm]
[mm]R_{2}u:=u\left(1\right)=0[/mm]
Zur Bestimmung der greenschen Funktion ist zunächst ein
Fundamentalsystem der homogenen DGL
[mm]-\partial_{xx} u= 0[/mm]
zu bestimmen.
> viele grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 04.05.2011 | | Autor: | aly19 |
hi danke für deine schnelle antwort.
also erstmal zu a)
Fundamentalsystem wäre doch [mm] \{1,x \} [/mm] oder?
zu b)
Fundamentalsystem [mm] \{1,e^x\}.
[/mm]
Stimmt das soweit? Wie würde man weiter vorgehen? Werden jetzt die Randbedingungen eingebaut?
viele grüße
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Hallo aly19,
> hi danke für deine schnelle antwort.
> also erstmal zu a)
> Fundamentalsystem wäre doch [mm]\{1,x \}[/mm] oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b)
> Fundamentalsystem [mm]\{1,e^x\}.[/mm]
> Stimmt das soweit? Wie würde man weiter vorgehen? Werden
> jetzt die Randbedingungen eingebaut?
Zur Berechnung der Greenschen Funktion von einem Fundamentalsystem
[mm]u_{1}, \ u_{2}[/mm] der DGL Lu=0 macht man den Ansatz
[mm]\Gamma\left(x,\xi\right)=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)\pm b_{i}\left(\xi\right) \right)*u_{i}\left(x\right), \left\{\begin{matrix} + & x \ge \xi \\ - & x \le \xi \end{matrix} \right[/mm]
Die Forderung der Stetigkeit von [mm]\Gamma[/mm] und der Sprungrelation von [mm]\Gamma_{x}[/mm] führt auf die beiden Gleichungen
[mm]\summe_{i=1}^{2}b_{i}\left(\xi\right)*u_{i}\left(\xi\right)=0[/mm]
[mm]\summe_{i=1}^{2}b_{i}\left(\xi\right)*u'_{i}\left(\xi\right)=\bruch{1}{2*p\left(\xi\right)}[/mm]
,wobei im Fall a) [mm]p\left(\xi\right)=-1[/mm] ist.
Zur Bestimmung der [mm]a_{i}\left(\xi\right), \ i=1,2[/mm] werden die Randbedingungen
[mm]R_{1}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)-b_{i}\left(\xi\right) \right)*R_{1}u_{i}=0[/mm]
[mm]R_{2}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)+b_{i}\left(\xi\right) \right)*R_{2}u_{i}=0[/mm]
betrachtet.
> viele grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 04.05.2011 | | Autor: | aly19 |
hey, okay also dann erstmal zur a)
> Zur Berechnung der Greenschen Funktion von einem
> Fundamentalsystem
> [mm]u_{1}, \ u_{2}[/mm] der DGL Lu=0 macht man den Ansatz
>
> [mm]\Gamma\left(x,\xi\right)=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)\pm b_{i}\left(\xi\right) \right)*u_{i}\left(x\right), \left\{\begin{matrix} + & x \ge \xi \\ - & x \le \xi \end{matrix} \right[/mm]
>
> Die Forderung der Stetigkeit von [mm]\Gamma[/mm] und der
> Sprungrelation von [mm]\Gamma_{x}[/mm] führt auf die beiden
> Gleichungen
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2}b_{i}\left(\xi\right)*u_{i}\left(\xi\right)=0[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2}b_{i}\left(\xi\right)*u'_{i}\left(\xi\right)=\bruch{1}{2*p\left(\xi\right)}[/mm]
>
> ,wobei im Fall a) [mm]p\left(\xi\right)=-1[/mm] ist.
Demnach hätte ich ja:
[mm] b_1(\xi)u_1(\xi)+b_2(\xi) u_2(\xi)=0
[/mm]
d.h. [mm] b_1(\xi)+b_2(\xi)=0
[/mm]
und
[mm] b_1(\xi) u_1'(\xi)+b_2(\xi)u_2'(\xi)=b_2(\xi)=-1/2
[/mm]
und damit [mm] b_1(\xi)= \xi/2
[/mm]
woher weiß ich das [mm] p(\xi)=-1 [/mm] ist? wie komme ich darauf? zum Beispiel bei b).
>
> Zur Bestimmung der [mm]a_{i}\left(\xi\right), \ i=1,2[/mm] werden
> die Randbedingungen
>
> [mm]R_{1}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)-b_{i}\left(\xi\right) \right)*R_{1}u_{i}=0[/mm]
>
> [mm]R_{2}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)+b_{i}\left(\xi\right) \right)*R_{2}u_{i}=0[/mm]
>
> betrachtet.
Aus diesem beiden Gleichungen habe ich: [mm] a_1(\xi)=\xi [/mm] /2 und [mm] a_2(\xi)=1/2-\xi.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wäre dann [mm] \Gamma [/mm] meine Greensche Funktion?
Kennst du vielleicht ein Buch in dem das auch auf diese Art erklärt wird? Ich habe dazu leider nix gutes gefunden.
Viele Grüße
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Hallo aly19,
> hey, okay also dann erstmal zur a)
> > Zur Berechnung der Greenschen Funktion von einem
> > Fundamentalsystem
> > [mm]u_{1}, \ u_{2}[/mm] der DGL Lu=0 macht man den Ansatz
> >
> >
> [mm]\Gamma\left(x,\xi\right)=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)\pm b_{i}\left(\xi\right) \right)*u_{i}\left(x\right), \left\{\begin{matrix} + & x \ge \xi \\ - & x \le \xi \end{matrix} \right[/mm]
>
> >
> > Die Forderung der Stetigkeit von [mm]\Gamma[/mm] und der
> > Sprungrelation von [mm]\Gamma_{x}[/mm] führt auf die beiden
> > Gleichungen
> >
> >
> [mm]\summe_{i=1}^{2}b_{i}\left(\xi\right)*u_{i}\left(\xi\right)=0[/mm]
> >
> >
> [mm]\summe_{i=1}^{2}b_{i}\left(\xi\right)*u'_{i}\left(\xi\right)=\bruch{1}{2*p\left(\xi\right)}[/mm]
> >
> > ,wobei im Fall a) [mm]p\left(\xi\right)=-1[/mm] ist.
> Demnach hätte ich ja:
> [mm]b_1(\xi)u_1(\xi)+b_2(\xi) u_2(\xi)=0[/mm]
> d.h.
> [mm]b_1(\xi)+b_2(\xi)=0[/mm]
> und
> [mm]b_1(\xi) u_1'(\xi)+b_2(\xi)u_2'(\xi)=b_2(\xi)=-1/2[/mm]
> und
> damit [mm]b_1(\xi)= \xi/2[/mm]
>
> woher weiß ich das [mm]p(\xi)=-1[/mm] ist? wie komme ich darauf?
Nun, das Ganze nennt sich "Sturmsche Randwertaufgabe".
Daß hier [mm]p(\xi)=-1[/mm] ist, entnehme ich aus dieser "Sturmschen Randwertaufgabe".
> zum Beispiel bei b).
>
> >
> > Zur Bestimmung der [mm]a_{i}\left(\xi\right), \ i=1,2[/mm] werden
> > die Randbedingungen
> >
> >
> [mm]R_{1}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)-b_{i}\left(\xi\right) \right)*R_{1}u_{i}=0[/mm]
>
> >
> >
> [mm]R_{2}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left(a_{i}\left(\xi\right)+b_{i}\left(\xi\right) \right)*R_{2}u_{i}=0[/mm]
>
> >
> > betrachtet.
>
> Aus diesem beiden Gleichungen habe ich: [mm]a_1(\xi)=\xi[/mm] /2 und
> [mm]a_2(\xi)=1/2-\xi.[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja.
> Wäre dann [mm]\Gamma[/mm] meine Greensche Funktion?
Das musst Du dann gemäß dem Ansatz zusammenbauen.
Daraus ergibt sich dann die Greensche Funktion [mm]\Gamma[/mm].
> Kennst du vielleicht ein Buch in dem das auch auf diese Art
> erklärt wird? Ich habe dazu leider nix gutes gefunden.
Ich habe während nur ein Buch über gewöhnliche DGLn gehabt,
in der die Greensche Funktion beschrieben worden ist.
Gewöhnliche Differentialgleichungen, Walter, 4. Auflage, Springer -Lehrbuch
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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