Greensche Fkt. Kontrolle < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Lu(x)=(x*u'(x))' = h(x)
u(1)=0
u(e)=0
Hallo,
kann vllt. jemand mal schauen, ob ich diese Aufgabe korrekt gelöst habe?
1) Lösungen der homogenen DGL:
(xu')'=0 subst: xu'=z
z'=0
Lösung: [mm] z_1=1 [/mm] und [mm] z_2=0
[/mm]
restubstuieren:
[mm] z_1=xu'=1 [/mm] daraus folgt [mm] u_1=ln(1/x)
[/mm]
und [mm] u_2=1
[/mm]
[mm] d\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 1 }ist [/mm] ungleich 0, also ist das RWP eindeutig lösbar.
[mm] u_1=x-1 [/mm] erfüllt die 1. Randbedingungen und
[mm] u_2=x-e [/mm] erfüllt die 2. Randbedingung.
Die Greensche Fkt. lautet:
=1/(xe-x) (b-1)*(x-e) 1<=b<=x<=e
(x-e)*( b-e) 1<=x<=b<=e
ich hoffe, ihr versteht die Greensche Fkt., kann sie leider mit dem Formeleditor nicht anders darstellen! (bzw. weiß jemand wie?)=
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Di 16.03.2010 | | Autor: | max3000 |
Guten Abend
> Lu(x)=(x*u'(x))' = h(x)
> u(1)=0
> u(e)=0
>
> Hallo,
> kann vllt. jemand mal schauen, ob ich diese Aufgabe korrekt
> gelöst habe?
> 1) Lösungen der homogenen DGL:
> (xu')'=0 subst: xu'=z
> z'=0
> Lösung: [mm]z_1=1[/mm] und [mm]z_2=0[/mm]
Warum machst du das nicht allgemein und sagst z=C=const ?
Den Schritt versteh ich nicht ganz, könnte aber trotzdem richtig sein.
> restubstuieren:
> [mm]z_1=xu'=1[/mm] daraus folgt [mm]u_1=ln(1/x)[/mm]
> und [mm]u_2=1[/mm]
Hier wirds falsch.
Nochmal langsam:
[mm] u'=\frac{1}{x} \Rightarrow [/mm] u=łn|x|+C
Für die allgemeine Form mit [mm] z=C_1 [/mm] würde folgen:
[mm] x*u'=C\Rightarrow u'=\frac{C_1}{x}\Rightarrow u=C_1*ln|x|+C_2
[/mm]
Dann die beiden Konstanten mit den Randbedingungen eliminieren:
[mm] u(1)=C_2 \Rightarrow C_2=0
[/mm]
[mm] u(e)=C_1 \Rightarrow C_1=0
[/mm]
Damit ist die homogene Lösung [mm] u\equiv0.
[/mm]
Jetzt noch den inhomogenen Anteil einbinden und du solltest fertig sein.
Hoffe das hat dir erstmal ein bisschen weitergeholfen.
Schönen Gruß
Max
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Aber u=0 ist doch immer die triviale Lösung.
Ich habe es jetzt nochmal gemacht und zwar so:
1) löse die dazugehörige homogene DGL: (xu')'=0
subst. z=xu'
z'=0
Der Eigenwert ist a=0, also ist die Lösung [mm] z_h=e^0=1
[/mm]
z=xu'=1, daraus folgt die homogene Lösung: [mm] u_h=ln(x)+c
[/mm]
2) Lösung des inhomogenen Problems mit Hilfe der Greenschen Fkt.:
[mm] u_1=ln(x) [/mm] ist Lösung der DGL und erfüllt die 1. Randbedingung
[mm] u_2=ln(x)-1 [/mm] ist Lösung der DGL und erfüllt die 2. Randbedingung.
Wie die Greensche Fkt. lautet schreibe ich jetzt nicht hin, ist nur Einsetzen der beiden Lösungen [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2. [/mm]
Das Integral der Greenschen Fkt. multipliziert mit h(x) ist dann die partikuläre Lösung.
Habe ich das richtig verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 24.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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