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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:58 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Sei $A [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] ein Kompaktum mit glattem Rand und äußerem Einheits-Normalenfeld $v: [mm] \partial [/mm] A [mm] \to \IR^n$ [/mm] Sei $u$ eine harmonische Funktion auf einer offenen Obermenge von A (oder, etwas schwächer, sei $u$ stetig auf $A$ und harmonisch auf dem Inneren von A).
Zeigen Sie:
i) [mm] $\integral_{\partial A} \bruch{\partial u}{\partial v} [/mm] dS = 0$
ii) [mm] $\integral_{\partial A} [/mm] u [mm] \bruch{\partial u}{\partial v} [/mm] dS = [mm] \integral_A ||\nabla u||^2 [/mm] dV$. |
Hey,
wir kennen die Greensche Formel:
$A$ Komp. mit glattem Rand, $v$ äußeres Einheits-Normalenfeld, $f,g [mm] \in C^2(A,\IR)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \integral_{\partial A} [/mm] f [mm] \bruch{\partial g}{\partial v} [/mm] dS = [mm] \integral_A f*\Delta [/mm] g [mm] *dV+\integral_A <\nabla [/mm] f, [mm] \nabla [/mm] g> *dV$
ad i) [mm] $\integral_{\partial A} \bruch{\partial u}{\partial v} [/mm] dS = [mm] \integral_{\partial A} 1*\bruch{\partial u}{\partial v} [/mm] dS$
Da $u$ harmonisch, folgt dass $u [mm] \in C^2(A,\IR)$ [/mm] und $1 [mm] \in C^2(A,\IR)$, [/mm] deswegen können wir die Greensche Formel anwenden:
[mm] $=\integral_A 1*\Delta [/mm] u [mm] *dV+\Integral_A <\nabla [/mm] 1, [mm] \nabla [/mm] u> *dV$, da [mm] $\Delta [/mm] u = 0$ (weil $u$ harmonisch) und [mm] $\nabla [/mm] 1 = 0$ folgt
$=0$.
ad ii) Da $u$ harmonisch, folgt dass $u [mm] \in C^2(A,\IR)$, [/mm] damit und den Voraussetzungen können wir nun die Greensche Formel anwenden:
[mm] $\integral_{\partial A} [/mm] u [mm] \bruch{\partial u}{\partial v} [/mm] dS [mm] =\integral_A u*\Delta [/mm] u [mm] *dV+\integral_A <\nabla [/mm] u, [mm] \nabla [/mm] u> *dV$
Da [mm] $\Delta [/mm] u= 0$ (weil $u$ harmonisch) und laut Def. [mm] $<\nabla [/mm] u, [mm] \nabla [/mm] u> = [mm] ||\nabla u||^2 [/mm] $ folgt die Behauptung.
Kann man das so schreiben?
Freu mich auf eure Hilfe.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Sei [mm]A \subseteq \IR^n[/mm] ein Kompaktum mit glattem Rand und
> äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \partial A \to \IR^n[/mm] Sei
> [mm]u[/mm] eine harmonische Funktion auf einer offenen Obermenge von
> A (oder, etwas schwächer, sei [mm]u[/mm] stetig auf [mm]A[/mm] und
> harmonisch auf dem Inneren von A).
> Zeigen Sie:
>
> i) [mm]\integral_{\partial A} \bruch{\partial u}{\partial v} dS = 0[/mm]
>
> ii) [mm]\integral_{\partial A} u \bruch{\partial u}{\partial v} dS = \integral_A ||\nabla u||^2 dV[/mm].
>
> Hey,
>
> wir kennen die Greensche Formel:
>
> [mm]A[/mm] Komp. mit glattem Rand, [mm]v[/mm] äußeres
> Einheits-Normalenfeld, [mm]f,g \in C^2(A,\IR)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{\partial A} f \bruch{\partial g}{\partial v} dS = \integral_A f*\Delta g *dV+\integral_A <\nabla f, \nabla g> *dV[/mm]
>
> ad i) [mm]\integral_{\partial A} \bruch{\partial u}{\partial v} dS = \integral_{\partial A} 1*\bruch{\partial u}{\partial v} dS[/mm]
>
> Da [mm]u[/mm] harmonisch, folgt dass [mm]u \in C^2(A,\IR)[/mm] und [mm]1 \in C^2(A,\IR)[/mm],
> deswegen können wir die Greensche Formel anwenden:
>
> [mm]=\integral_A 1*\Delta u *dV+\Integral_A <\nabla 1, \nabla u> *dV[/mm],
> da [mm]\Delta u = 0[/mm] (weil [mm]u[/mm] harmonisch) und [mm]\nabla 1 = 0[/mm] folgt
>
> [mm]=0[/mm].
>
> ad ii) Da [mm]u[/mm] harmonisch, folgt dass [mm]u \in C^2(A,\IR)[/mm], damit
> und den Voraussetzungen können wir nun die Greensche
> Formel anwenden:
>
> [mm]\integral_{\partial A} u \bruch{\partial u}{\partial v} dS =\integral_A u*\Delta u *dV+\integral_A <\nabla u, \nabla u> *dV[/mm]
>
> Da [mm]\Delta u= 0[/mm] (weil [mm]u[/mm] harmonisch) und laut Def. [mm]<\nabla u, \nabla u> = ||\nabla u||^2[/mm]
> folgt die Behauptung.
>
> Kann man das so schreiben?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Danke!
Das ist doch mal super :)
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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