Grenze einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:05 Mo 16.01.2006 | | Autor: | ado |
| Aufgabe | Gegeben ist die Folge [mm] 1;\bruch{6}{7};\bruch{7}{9};\bruch{8}{11}; ...[/mm]
Wie viele Schritte müssen Sie gehen, um die Grenze [mm] \varepsilon [/mm] zu überschreiten?
[mm]\varepsilon=10^{-3}[/mm] |
für die Folge kam mir [mm] \bruch{5+n}{5+2n} [/mm] in den Sinn, doch hat diese Folge ihren Grenzwert bei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ! wie kann sie da jemals [mm] \varepsilon [/mm] erreichen? was mache ich falsch? und vor allem, wie komme ich auf das richtige ergebnis? wie muss ich das anpacken?
dazu passend noch eine weitere frage:
Gegeben sei die Folge[mm]a_{n}=\bruch{n-2}{n^{2}+2}[/mm]
Nach wie vielen schritten [mm] n_{0} [/mm] hat sich die Funktion ihrem Grenzwert bis auf [mm] 10^{-2} [/mm] genähert?
leider hab ich keine ahnung, wie ich an der funktion rumbasteln muss, um sie nach n umzustellen... :(
mfg, ado
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Gemeint ist bei der ersten Aufgabe: Wie viele Schritte muß man gehen, bis man in den [mm]\varepsilon[/mm]-Streifen um den Grenzwert herum eintaucht? Die Frage ist allerdings äußerst mißverständlich formuliert.
Zu lösen ist also
[mm]\left| a_n - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon[/mm]
Glücklicherweise kannst du bei diesem Beispiel auf die Betragsstriche verzichten. Weißt du, warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgan ado!
Kleiner Hinweis zur ersten Folge: wenn Ihr Eure Zählung bei $n \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] beginnen lasst, lautet Deine Folgenvorschrift:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4+n}{3+2n}$
[/mm]
Wie lautet denn bei der zweiten Folge der Grenzwert?
Richtig: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n-2}{n^2+2} [/mm] \ = \ 0$
Du musst also folgende Ungleichung lösen:
[mm] $\left|\bruch{n-2}{n^2+2}-0\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n-2}{n^2+2} [/mm] \ < \ [mm] 10^{-2}$
[/mm]
Multipliziere diese Ungleichung zunächst mit [mm] $100*\left(n^2+2\right)$ [/mm] und Du musst eine quadratische (Un-)Gleichung lösen (z.b. mit der  p/q-Formel):
$100*(n+2) \ < \ [mm] n^2+2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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