Grenze geht gegen -\infty < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Di 03.04.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung [mm] f(x)=0.5*(2-e^{x})^2. [/mm] K ist das Schaubild der Funktion.
Das Schaubild K, die Gerade mit der Gleichung y= 2, die Gerade mit der Gleichung x=u mit u<0 und die y-Achse schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein. Bestimmen Sie A(u) für u--> ∞ |
Ich habe zuerst den Schnittpunkt der beiden Graphen f(x) und y= 2 ermittelt, dieser ist ln(4). Danach habe ich die beiden Funktionen [mm] f(x)=0.5*(2-e^{x})^2 [/mm] und y= 2 gleichgesetzt und zu einer gemacht, also f(x)= [mm] (2-e^{x})^2-2. [/mm] Danach habe ich es mit der partiellen Integration versucht: Ich habe gesetzt:
f(x)= [mm] (2-e^{x})^2-2 [/mm] g'{x}=0.5
[mm] f'{x}=-e^{x}*(2-e^{x}) [/mm] g(x)=0.5x
Es müsste dann heißen:
[mm] \integral_{-\infty}^{ln(4)}{f(x)*g'(x) dx}=[(2-e^{ln(4)})^{2}-2*0.5*ln(4)]-[(2*e^{-\infty})^{2}-2*0.5*(-\infty)-\integral_{-\infty}^{ln(4)}{-e^{x}*(2-e^{x})*0.5x dx}
[/mm]
Man hat dann [mm] [2.614]-[-\infty]-\infty=0
[/mm]
Aber der Flächeninhalt kann ja nicht 0 ergeben, wo liegt der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Di 03.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
> [mm]f(x)=0.5*(2-e^{x})^2.[/mm] K ist das Schaubild der Funktion.
> Das Schaubild K, die Gerade mit der Gleichung y= 2, die
> Gerade mit der Gleichung x=u mit u<0 und die y-Achse
> schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein.
> Bestimmen Sie A(u) für u--> ∞
> Ich habe zuerst den Schnittpunkt der beiden Graphen f(x)
> und y= 2 ermittelt, dieser ist ln(4). Danach habe ich die
> beiden Funktionen [mm]f(x)=0.5*(2-e^{x})^2[/mm] und y= 2
> gleichgesetzt und zu einer gemacht, also f(x)=
> [mm](2-e^{x})^2-2.[/mm] Danach habe ich es mit der partiellen
> Integration versucht: Ich habe gesetzt:
> f(x)= [mm](2-e^{x})^2-2[/mm] g'{x}=0.5
> [mm]f'{x}=-e^{x}*(2-e^{x})[/mm] g(x)=0.5x
>
> Es müsste dann heißen:
> [mm]\integral_{-\infty}^{ln(4)}{f(x)*g'(x) dx}=[(2-e^{ln(4)})^{2}-2*0.5*ln(4)]-[(2*e^{-\infty})^{2}-2*0.5*(-\infty)-\integral_{-\infty}^{ln(4)}{-e^{x}*(2-e^{x})*0.5x dx}[/mm]
>
> Man hat dann [mm][2.614]-[-\infty]-\infty=0[/mm]
> Aber der Flächeninhalt kann ja nicht 0 ergeben, wo liegt
> der Fehler?
>
Hallo,
du hast die Aufgabestellung falsch interpretiert. Die Fläche ist von links nach rechts mit x = u und y-Achse begrenzt. So sind die Integralgrenzen a = u, b = 0
Von oben nach unten ist die Fläche von der Funktionen [mm] f(x)=0.5*(2-e^{x})^2 [/mm] und y = 2 begrenzt. Der Schnittpunkt x = ln 4 liegt außerhalb der Fläche, da u<0 und ln4>0
Also:
[mm] \integral_{u}^{0}{(0.5*(2-e^{x})^2 - 2)) dx}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 03.04.2007 | | Autor: | Owen |
Achso, dann habe ich also $ [mm] [1]-[-\infty]-1.5=\infty [/mm] $, stimmt das so?
Wenn ja, dann hätte ich noch eine Frage: Wann muss ich ums Ergebnis Betragsstriche setzen? Muss ich bereits nach dem Ausrechnen von [mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x)\cdot{}g'(x) dx}= [/mm] f(b)*g(b)-f(a)*g(a) den Betrag nehmen, oder erst ganz zum Schluss wenn ich auch das Ergebnis von [mm] \integral_{-\infty}^{0}{f'(x)*g(x) dx} [/mm] habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 03.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
also ich habe bei dem Integral
[mm] \integral_{a}^{b}{(2-0.5(2-e^x)^2) dx} [/mm] als Ergebnis [mm] \br{7}{4} [/mm] heraus.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 03.04.2007 | | Autor: | Owen |
Hmm.. wie kommst du darauf? Ich habe folgendes gerechnet:
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x)\cdot{}g'(x) dx}=[(2-e^{0})^{2}-2\cdot{}0.5\cdot{}0]-[(2\cdot{}e^{-\infty})^{2}-2\cdot{}0.5\cdot{}(-\infty)]-\integral_{-\infty}^{0}{-e^{x}\cdot{}(2-e^{x})\cdot{}0.5x dx} [/mm] $
Da habe ich am Ende [mm] [1]-[-\infty]-1.5=\infty
[/mm]
Kannst du vielleicht dein Ergebnis erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 03.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
[mm] \integral_{u}^{0}{(0,5(2- e^{x})^2 - 2)dx} [/mm] = [mm] \integral_{u}^{0}{(0,5(4- 4e^{x} + e^{2x})- 2)dx} [/mm] = [mm] \integral_{u}^{0}{(2- 2e^{x} + 0,5e^{2x}- 2)dx} [/mm] = [mm] \integral_{u}^{0}{(-2e^{x} + 0,5e^{2x})dx} [/mm] = [ [mm] -2e^x [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}e^{2x}] [/mm] = |- [mm] \bruch{7}{4}-(-2e^{u}+e^{2u})|
[/mm]
Korrektur. Ich habe bei [mm] \integral{e^{2x} dx} [/mm] statt *1/2 durch 1/2 geteilt. So war meine letzte Lösung falsch.
bei u -> [mm] -\infty -(-2e^{u}+e^{2u})->0
[/mm]
So Inhalt der Fläche -> [mm] |-\bruch{7}{4}| [/mm] = [mm] \bruch{7}{4}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 03.04.2007 | | Autor: | Owen |
Die Vorgehensweise habe ich verstanden, aber wie kommst du bei der Stammfunktion auf [ $ [mm] -2e^x [/mm] $ + $ [mm] e^{2x}] [/mm] $ ? Wenn man [mm] e^{2x} [/mm] ableitet, dann kommt man auf [mm] 2*e^{2x} [/mm] und nicht auf 0.5 [mm] e^{x}. [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 03.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Die Vorgehensweise habe ich verstanden, aber wie kommst du
> bei der Stammfunktion auf [ [mm]-2e^x[/mm] + [mm]e^{2x}][/mm] ? Wenn man
> [mm]e^{2x}[/mm] ableitet, dann kommt man auf [mm]2*e^{2x}[/mm] und nicht auf
> 0.5 [mm]e^{x}.[/mm]
Die Ableitung von [mm] e^{2x} [/mm] ist [mm] 2e^x. [/mm] Das ist richtig, aber
um die Stammfunktion zu finden, muss man integrieren, nicht ableiten.
[mm] \integral{e^{2x} dx} [/mm] kann man mit der Substitution t= 2x lösen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 03.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{\left[2-\br{1}{2}(2-e^x)^2\right] dx}=\integral_{-\infty}^{0}{\left[2-\left(2-2e^x+\br{1}{2}e^{2x}\right)\right] dx}=\integral_{-\infty}^{0}{\left[2e^x-\br{1}{2}e^{2x}\right] dx}=2-\br{1}{4}=\br{7}{4}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Owen |
Achso, jetzt habe ich es verstanden, danke. Ich hätte aber noch eine allgemeine Frage:Wann muss ich ums Ergebnis Betragsstriche setzen?Nehmen wir mal an ich mache die patielle Integration, muss ich dann bereits nach dem Ausrechnen von $ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x)\cdot{}g'(x) dx}= [/mm] $ f(b)*g(b)-f(a)*g(a) den Betrag nehmen, oder erst ganz zum Schluss wenn ich auch das Ergebnis von $ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{f'(x)\cdot{}g(x) dx} [/mm] $ habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 04.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
da Du eine Fläche ausrechnen sollst, die ist ja immer positiv, würde ich das Betragszeichen um das gesamte Integral setzen.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Owen |
achso, ja gut, danke
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