Grenzen von Doppelintegralen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die Integrationsgrenzen für das Integral
||f(x,y)dxdy
G
wenn G durch folgende Flächen gegeben ist.
Geben Sie jeweils die Integrationsgrenzen an, wenn zuerst über x und dann über y, bzw. umgekehrt integriert wird.
a) G ist der Kreisausschnitt im 1. Quadranten des Einheitskreises.
b) G wird von den Gerade x = 0, y = 0 und y = -x + 2 begrenzt.
c) G wird von den Geraden x = 0, y = a, y = x und y = x - 2a, a > 0 begrenzt.
d) G wird von den Gerade y = 2x, y = -(x/2) und y = 2 begrenzt.
e)... |
Hallo,
zuallererst: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun denn,
ich habe große Verständnisprobleme bei der Bestimmung der Grenzen von Doppelintegralen...
Für Unterpunkt a) habe ich mir eine Skizze angefertigt. An dieser sieht man recht schnell, dass die Grenzen in x-Richtung zwischen 0 und 1 liegen, in y-Richtung durch die untere Funktion g(x) = 0 und die obere Funktion h(x)="keine Ahnung". Auch wenn ich nicht weiß, wie man auf die Lösung von h(x) = sqrt(1-y²) kommt, so verstehe ich immerhin die Vorgehensweise.
Unterpunkt b) ist ähnlich verlaufen. Anhand der Skizze sehe ich 0 <= x <= 2 und 0 <= y <= 2-x .
Hierzu eine kleine Frage: Kann ich das auch allein anhand der gegebenen Funktionen sehen, ohne dass ich mir erst eine Skizze anfertigen muss?
Zu c). Ja... hier verstehe ich gar nichts.
Es scheitert bereits an der Skizze...
Über eine Erklärung, wie genau hier vorgegangen werden muss, würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Pingumane
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> Bestimmen sie die Integrationsgrenzen für das Integral
> [mm] $\iint_{G} f(x,y)dx\,dy$
[/mm]
> wenn G durch folgende Flächen gegeben ist.
> Geben Sie jeweils die Integrationsgrenzen an, wenn zuerst
> über x und dann über y, bzw. umgekehrt integriert wird.
>
> a) G ist der Kreisausschnitt im 1. Quadranten des
> Einheitskreises.
>
> b) G wird von den Gerade x = 0, y = 0 und y = -x + 2
> begrenzt.
>
> c) G wird von den Geraden x = 0, y = a, y = x und y = x -
> 2a, a > 0 begrenzt.
>
> d) G wird von den Gerade y = 2x, y = -(x/2) und y = 2
> begrenzt.
>
> e)...
> Hallo,
>
> zuallererst: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> Nun denn,
> ich habe große Verständnisprobleme bei der Bestimmung
> der Grenzen von Doppelintegralen...
>
> Für Unterpunkt a) habe ich mir eine Skizze angefertigt. An
> dieser sieht man recht schnell, dass die Grenzen in
> x-Richtung zwischen 0 und 1 liegen, in y-Richtung durch die
> untere Funktion g(x) = 0 und die obere Funktion h(x)="keine
> Ahnung". Auch wenn ich nicht weiß, wie man auf die Lösung
> von h(x) = sqrt(1-y²) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") kommt, so verstehe ich immerhin die
> Vorgehensweise.
h(x) soll eine Funktion von x (nicht von y) sein !
Man bekommt h(x) aus der Gleichung des Einheitskreises
bzw. aus dem Satz von Pythagoras !
> Unterpunkt b) ist ähnlich verlaufen. Anhand der Skizze
> sehe ich 0 <= x <= 2 und 0 <= y <= 2-x .
> Hierzu eine kleine Frage: Kann ich das auch allein anhand
> der gegebenen Funktionen sehen, ohne dass ich mir erst eine
> Skizze anfertigen muss?
Eine Skizze würde ich jedenfalls empfehlen. Es ist doch
hoffentlich nicht verboten, auch etwas Anschauung einzusetzen !
> Zu c). Ja... hier verstehe ich gar nichts.
> Es scheitert bereits an der Skizze...
> Über eine Erklärung, wie genau hier vorgegangen werden
> muss, würde ich mich sehr freuen.
Um eine konkrete Zeichnung zu machen, wählst du dir
halt einfach mal einen Wert für den Parameter a aus, zum
Beispiel a=3 . Für die Rechnungen muss man dann den
konkreten Wert einfach wieder "vergessen", d.h. anstelle
der Zahl 3 die Konstante a einsetzen.
> Gruß
> Pingumane
Hallo Pingumane,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
für ein Doppelintegral über ein ebenes Gebiet G muss man
dieses sozusagen "durchscannen", analog dazu wie etwa
ein Drucker Zeile um Zeile druckt. Die einzelnen Zeilen
werden dabei z.B. von links nach rechts geschrieben; die
Zeilen werden untereinander gesetzt. Für die Integration
im x-y-System ist die Reihenfolge etwas anders: Man setzt
vertikale Scan-Zeilen nebeneinander über das Gebiet G,
nämlich je eine für jedes x zwischen a (linker Rand von G)
und b(rechter Rand von G). Die Scan-Zeile zu einem konkreten
x-Wert wird von unten [mm] (y_{min}(x)) [/mm] nach oben [mm] (y_{max}(x))
[/mm]
durchlaufen. Dies ist die übliche Reihenfolge:
[mm] $\integral_{x=a\ (links)}^{b\ (rechts)}\ \left( \integral_{y=y_{min}(x)}^{y=y_{max}(x)}\ f(x,y)\ dy\,\right)\,dx$
[/mm]
Oft macht man es aber auch (z.B. um leichter oder überhaupt
integrieren zu können) auch umgekehrt:
[mm] $\integral_{y=c\ (unten)}^{d\ (oben)}\ \left( \integral_{x=x_{min}(y)}^{x=x_{max}(y)}\ f(x,y)\ dx\,\right)\,dy$
[/mm]
Tipp: Auf diese Weise Klammern zu setzen, ist zwar nicht
üblich oder gar verbreitet, aber insbesondere für Anfänger
eine nützliche Hilfe !
In der vorliegenden Aufgabe sollen ja beide Reihenfolgen
der Integration durchgespielt werden.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Do 19.06.2014 | | Autor: | Pingumane |
Vielen Dank für das Willkommen heißen :)
Und auch vielen lieben Dank für die Antwort. Durch das wählen von a war dann auch die Skizze klar und wenn man die Flächen dann einteilt kommt man auch auf die Grenzen.
Auch die nachfolgenden Aufgaben habe ich bisher geschafft (auch wenn es ziemlich langsam von statten geht).
Bei der Funktion h(x) habe ich mich in der Tat vertippt, da sollte auch ein x, anstelle des y stehen. ;)
Also, vielen Dank noch einmal für die Hilfe!
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