Grenzfunktion von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Welche Funktionen werden durch folgende Potenzreihen dargestellt?
(i) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n}
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n}
[/mm]
(iii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}x^{n} [/mm] |
Hallo,
Wie so oft habe ich wieder Probleme mit Reihen :D
Also zu (i):
Da habe ich eigentlich kaum eine Idee wie bei den anderen Reihen auch ... Mir fehlt eine Vorgehensweise wie ich an so einen Aufgabentyp herangehen soll...
Das die geometrische Reihe mit drinsteckt ist unschwer zu erkennen, also müsste ich ja so eine Einschränkung machen wie |x|<1 und dann damit weiterarbeiten, aber wie ?
Naja wie schon gesagt hab ich auch bei den nächsten Aufgabenteilen keinen blassen Schimmer...
Gibt's da Vllt irgendeinen Trick von dem ich noch nichts gehört habe?
Danke schonmal für die Hilfe!
Gruß marmik
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 15.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.welche fkt wird durch die geometrische Reihe dargestllt?
2. differenzuere diese!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
Also,
Durch die geometrische Reihe wird die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{1-x} [/mm] somit ist [mm] f'(x)=(\bruch{1}{1-x})^{2}
[/mm]
Ich hoffe mal bis hier ist alles richtig ...
Und warum soll ich die geometrische Reihe differenzieren? Ich sehe da noch nicht so ganz den Zusammenhang.
Gruß marmik
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Hiho,
> Und warum soll ich die geometrische Reihe differenzieren?
> Ich sehe da noch nicht so ganz den Zusammenhang.
machs doch einfach mal.
Bedenke: Für |x|<1 kannst du Summenbildung und Differenziation vertauschen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hi,
Ich glaube dass ich es jetzt hinbekommen habe:
Sei |x|<1 dann ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}}\leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
Ist das soweit richtig?
Falls ja geht es ja für die anderen Reihen ziemlich analog und ich könnte es als verstanden abhacken :D
Gruß marmik
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Hiho,
> Hi,
> Ich glaube dass ich es jetzt hinbekommen habe:
> Sei |x|<1 dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}}\leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nein.
Die Idee ist aber korrekt.
Deine erste Umformung stimmt bspw. für x=0 nicht.
Schreib das noch sauber auf, dann passt es.
> Falls ja geht es ja für die anderen Reihen ziemlich analog und ich könnte es als verstanden abhacken :D
Klingt ziemlich rabiat....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
> Hiho,
>
> > Hi,
> > Ich glaube dass ich es jetzt hinbekommen habe:
> > Sei |x|<1 dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}}\leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> >
> > Ist das soweit richtig?
>
> Nein.
> Die Idee ist aber korrekt.
> Deine erste Umformung stimmt bspw. für x=0 nicht.
> Schreib das noch sauber auf, dann passt es.
bin jetzt irgendwie voll verunsichert ich weiß nicht genau was ich da ändern muss/darf damit es passt -.- Vllt einfach x=0 rausnehmen ?
> > Falls ja geht es ja für die anderen Reihen ziemlich analog
> und ich könnte es als verstanden abhacken :D
>
> Klingt ziemlich rabiat....
der Smiley sollte die Aussage mit ein bisschen Ironie unterlegen  sitze aber schon den ganzen Tag daran und die ganzen reihen kommen mir schon zu den Ohren wieder raus.
> MFG,
> Gono.
Gruß marmik
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Hiho,
> bin jetzt irgendwie voll verunsichert ich weiß nicht genau
> was ich da ändern muss/darf damit es passt -.- Vllt einfach x=0 rausnehmen ?
Nein!
Du machst einfach zu viele Schritte auf einmal!
Schreibe dir die Summanden von [mm] $\summe_{n=0}^\infty x^n$ [/mm] einfach mal hin, differenziere dann und fasse dann wieder zusammen.
Schon findest du deinen Fehler.....
> > Klingt ziemlich rabiat....
>
> der Smiley sollte die Aussage mit ein bisschen Ironie unterlegen sitze aber schon den ganzen Tag daran und die ganzen reihen kommen mir schon zu den Ohren wieder raus.
Das ist auch nicht das Problem.
Das "rabiat" bezog sich auch eher aufs "abhacken", hoffentlich willst du die Reihen nur "abhaken"
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hi nochmal,
Ich glaube jetzt habe ich den Fehler gefunden:
Also die zu untersuchende Reihe war ja [mm]\summe_{n=0}^{\infty} nx^{n}[/mm] und das kann ich ja auch schreiben als [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}[/mm]
Und jetzt betrachte ich die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
Für |x|<1 gilt: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}} \leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm] und somit konvergiert die gegebene Reihe für [mm] x\in\ [/mm] (-1,1) gegen die oben ermittelte Funktion.
Ist das jetzt richtig? (Ich glaube dir ging es um den Index n, bei welchen Wert er startet oder?)
MfG marmik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi nochmal,
> Ich glaube jetzt habe ich den Fehler gefunden:
> Also die zu untersuchende Reihe war ja
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} nx^{n}[/mm] und das kann ich ja auch
> schreiben als [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}[/mm]
> Und jetzt
> betrachte ich die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
>
> Für |x|<1 gilt: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}} \leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
> und somit konvergiert die gegebene Reihe für [mm]x\in\[/mm] (-1,1)
> gegen die oben ermittelte Funktion.
> Ist das jetzt richtig?
Ja
FRED
> (Ich glaube dir ging es um den
> Index n, bei welchen Wert er startet oder?)
>
> MfG marmik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das jetzt richtig? (Ich glaube dir ging es um den
> Index n, bei welchen Wert er startet oder?)
jein - so, wie Du das hier gemacht hast, ist es besser. Das Problem vorher
war, dass der Term
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*x^{n-1}$$
[/mm]
für $x=0$ nicht definiert ist, da im Falle [mm] $n=0\,$ [/mm] UND $x=0$ halt [mm] $0*\tfrac{1}{0}$
[/mm]
drin vorkommt.
Das Problem hast Du bei [mm] $\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}$ [/mm] nicht. Denn für
alle $x [mm] \not=0$ [/mm] mit $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt in der Tat auch
[mm] $$(\sum_{n=0}^\infty x^n)'=\sum_{n=0}^\infty n*x^{n-1}...$$
[/mm]
Das Problem ist also, dass Du die Funktion(en) [mm] $f_n(x):=x^n$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] 'gemäß' der Regel
[mm] $(f_n(x))\,'=n*x^{n-1}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] abgeleitet hast, aber im Falle [mm] $n=0\,$ [/mm] muss man da
mit dieser Regel etwas vorsichtig sein - sie gilt "dann bedingt". (Deswegen
habe ich oben auch [mm] $n=0\,$ [/mm] bei dieser Regel nicht wirklich erlaubt!)
Einfacher ist's, [mm] $x^0=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] zu behalten/benutzen, dann bekommt
man auch [mm] $(f_0(x))\,'=0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] raus, nicht "nur" für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hiho,
> >
> > > Hi,
> > > Ich glaube dass ich es jetzt hinbekommen habe:
> > > Sei |x|<1 dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}}\leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist das soweit richtig?
> >
> > Nein.
> > Die Idee ist aber korrekt.
> > Deine erste Umformung stimmt bspw. für x=0 nicht.
> > Schreib das noch sauber auf, dann passt es.
>
> bin jetzt irgendwie voll verunsichert ich weiß nicht genau
> was ich da ändern muss/darf damit es passt -.- Vllt
> einfach x=0 rausnehmen ?
Du hast es ja auch ein wenig anders gelöst, aber mal zum Erkennen der
Problemstelle (es gibt übrigens noch andere - denke mal über [mm] $\iff$ [/mm] nach, ob
Du das so schreiben willst...):
Du hattest
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty x^n=...$$
[/mm]
Richtig ist, dass Du für $|x| < 1$ schreiben darfst
[mm] $$(\sum_{n=0}^\infty x^n)\,'=\sum_{n=0}^\infty (x^n)\,'$$
[/mm]
(Potenzreihen sind innerhalb ihres offenen Konvergenzkreises diff'bar und
dürfen dort gliedweise differenziert werden!)
Aber Du hast ja dann - so wie Du es geschrieben hast - insbesondere für
[mm] $n=0\,$ [/mm] behauptet, dass [mm] $(x^0)\,'=0*x^{0-1}=0*\frac{1}{x}\,.$
[/mm]
Gonos Hinweis war etwa: [mm] "$0*\tfrac{1}{0}$ [/mm] ist nicht definiert - weil ja schon [mm] $\tfrac{1}{0}$ [/mm]
nicht definiert ist. Benutze also lieber etwa [mm] $x^0=1\,$ [/mm] (gilt auch für [mm] $x=0\,$) [/mm]
und schreibe [mm] $1'=0\,.$"
[/mm]
[mm] $(\sum_{n=0}^\infty x^n)'=(1+\sum_{n=1}^\infty x^n)'=1'+\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=0+\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
> Hallo,
>
> > > Hiho,
> > >
> > > > Hi,
> > > > Ich glaube dass ich es jetzt hinbekommen habe:
> > > > Sei |x|<1 dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}}\leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ist das soweit richtig?
> > >
> > > Nein.
> > > Die Idee ist aber korrekt.
> > > Deine erste Umformung stimmt bspw. für x=0 nicht.
> > > Schreib das noch sauber auf, dann passt es.
> >
> > bin jetzt irgendwie voll verunsichert ich weiß nicht genau
> > was ich da ändern muss/darf damit es passt -.- Vllt
> > einfach x=0 rausnehmen ?
>
> Du hast es ja auch ein wenig anders gelöst, aber mal zum
> Erkennen der
> Problemstelle (es gibt übrigens noch andere - denke mal
> über [mm]\iff[/mm] nach, ob
> Du das so schreiben willst...):
> Du hattest
> [mm]\sum_{n=0}^\infty x^n=...[/mm]
>
> Richtig ist, dass Du für [mm]|x| < 1[/mm] schreiben darfst
> [mm](\sum_{n=0}^\infty x^n)\,'=\sum_{n=0}^\infty (x^n)\,'[/mm]
>
> (Potenzreihen sind innerhalb ihres offenen
> Konvergenzkreises diff'bar und
> dürfen dort gliedweise differenziert werden!)
>
> Aber Du hast ja dann - so wie Du es geschrieben hast -
> insbesondere für
> [mm]n=0\,[/mm] behauptet, dass [mm](x^0)\,'=0*x^{0-1}=0*\frac{1}{x}\,.[/mm]
>
> Gonos Hinweis war etwa: "[mm]0*\tfrac{1}{0}[/mm] ist nicht definiert
> - weil ja schon [mm]\tfrac{1}{0}[/mm]
> nicht definiert ist. Benutze also lieber etwa [mm]x^0=1\,[/mm] (gilt
> auch für [mm]x=0\,[/mm])
> und schreibe [mm]1'=0\,.[/mm]"
>
> [mm](\sum_{n=0}^\infty x^n)'=(1+\sum_{n=1}^\infty x^n)'=1'+\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=0+\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=...[/mm]
Jetzt habe ich wieder ein kleines Problem -.-
Nämlich weiß ich nicht wie ich weiterrechnen soll...? Ich habe ja jetzt im Exponenten wieder n-1 und würde deswegen ein [mm] \bruch{1}{x} [/mm] herausziehen um es auf die andere Seite zu bringen doch an dieser stelle würde ich ja wieder das Problem mit x=0 haben.
> Gruß,
> Marcel
Gruß marmik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hiho,
> > > >
> > > > > Hi,
> > > > > Ich glaube dass ich es jetzt hinbekommen
> habe:
> > > > > Sei |x|<1 dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\bruch{1}{1-x} \leftrightarrow \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^{2}}\leftrightarrow \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Ist das soweit richtig?
> > > >
> > > > Nein.
> > > > Die Idee ist aber korrekt.
> > > > Deine erste Umformung stimmt bspw. für x=0
> nicht.
> > > > Schreib das noch sauber auf, dann passt es.
> > >
> > > bin jetzt irgendwie voll verunsichert ich weiß nicht genau
> > > was ich da ändern muss/darf damit es passt -.- Vllt
> > > einfach x=0 rausnehmen ?
> >
> > Du hast es ja auch ein wenig anders gelöst, aber mal zum
> > Erkennen der
> > Problemstelle (es gibt übrigens noch andere - denke
> mal
> > über [mm]\iff[/mm] nach, ob
> > Du das so schreiben willst...):
> > Du hattest
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty x^n=...[/mm]
> >
> > Richtig ist, dass Du für [mm]|x| < 1[/mm] schreiben darfst
> > [mm](\sum_{n=0}^\infty x^n)\,'=\sum_{n=0}^\infty (x^n)\,'[/mm]
>
> >
> > (Potenzreihen sind innerhalb ihres offenen
> > Konvergenzkreises diff'bar und
> > dürfen dort gliedweise differenziert werden!)
> >
> > Aber Du hast ja dann - so wie Du es geschrieben hast -
> > insbesondere für
> > [mm]n=0\,[/mm] behauptet, dass [mm](x^0)\,'=0*x^{0-1}=0*\frac{1}{x}\,.[/mm]
> >
> > Gonos Hinweis war etwa: "[mm]0*\tfrac{1}{0}[/mm] ist nicht definiert
> > - weil ja schon [mm]\tfrac{1}{0}[/mm]
> > nicht definiert ist. Benutze also lieber etwa [mm]x^0=1\,[/mm] (gilt
> > auch für [mm]x=0\,[/mm])
> > und schreibe [mm]1'=0\,.[/mm]"
> >
> > [mm](\sum_{n=0}^\infty x^n)'=(1+\sum_{n=1}^\infty x^n)'=1'+\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=0+\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=...[/mm]
>
> Jetzt habe ich wieder ein kleines Problem -.-
> Nämlich weiß ich nicht wie ich weiterrechnen soll...?
> Ich habe ja jetzt im Exponenten wieder n-1 und würde
> deswegen ein [mm]\bruch{1}{x}[/mm] herausziehen um es auf die andere
> Seite zu bringen doch an dieser stelle würde ich ja wieder
> das Problem mit x=0 haben.
wenn Du Fallunterscheidungen machst, klappt das auch. Wir machen das
mal, nur, damit Du es siehst. Ich zeige Dir gleich, wie es eleganter geht!
Du hast nun
1. Fall: für $0 < |x| < 1$
[mm] $$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty n*x^{n-1}=\frac{1}{x}*\sum_{n=1}^\infty n*x^n=\frac{1}{x}*\sum_{n=0}^\infty n*x^n\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*x^n=\frac{x}{(1-x)^2}=:g(x)\,.$$
[/mm]
Dann willst Du doch, dass auch im
2. Fall: für [mm] $x=0\,$ [/mm] ...
sicher nachrechnen, dass [mm] $g(0)=0\,$ [/mm] auch mit [mm] $\sum_{n=0}^\infty n*0^{n}$ [/mm] übereinstimmt...
(Beachte: Sowohl [mm] $x/(1-x)^2$ [/mm] ist an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] definiert, als auch
die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty n*0^{n}$ [/mm] ist konvergent! Es würde etwa keinen Sinn
machen, sich zu fragen, ob [mm] $g(1)\,$ [/mm] mit der Reihe an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] übereinstimmt,
und zwar schon deswegen nicht, weil [mm] $g(1)\,$ [/mm] durch obigen Term nicht
definiert ist (neben der Tatsache, dass die Reihe auch an der Stelle nicht
konvergent ist!).
Ebensowenig wäre es sinnvoll, sich zu fragen, ob die Reihe an der Stelle [mm] $x=2\,$ [/mm]
mit [mm] $g(2)\,$ [/mm] übereinstimmt - denn an der Stelle [mm] $x=2\,$ [/mm] ist die Reihe divergent.
[mm] ($g(2)\,$ [/mm] existiert aber!))
Grob gesagt: Es geht hier "nur" um 'Gleichheit innerhalb des (offenen)
Konvergenzkreises'!
Alternativ:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*x^n=\sum_{n=\red{1}}^\infty n*x^n=x*\sum_{n=\red{1}}^\infty n*x^{n-1}$$
[/mm]
und für die letzte Reihe (ganz rechts) kennst Du "die darstellende Funktion für [mm] $|x|<1\,.$"
[/mm]
Damit bekommst Du auch direkt, dass für alle $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*x^n=\frac{x}{(1-x)^2}\,.$$
[/mm]
(OHNE Sonderfall!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
Vielen dank für deine Mühe!
Jetzt habe ich es endlich verstanden.
Gruß
Marmik
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