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| Aufgabe | Bei einer tropischen Fliegenart entwickeln sich die Eier in einer Woche zu Larven und diese in einer weiteren Woche zu Fliegen. Durch Feinde kommt ein Teil der Eier und Larven um. Jede Fliege legt nach einer Woche $t$ Eier und stirbt.
a) Bestimme jeweils die Übergangsmatrix für 1 Woche, 2 Wochen und für 3 Wochen.
b) Wie entwickelt sich die Anzahl der Fliegen über längere Zeiträume in Abhängigkeit von $t$? |
Hallo,
Wäre nett, wenn ihr mir noch mal erklären könntet, was bei b) eigentlich verlangt ist.
Also zu a):
[mm] $$U_{1}=\pmat{ 0 & 0&t \\ \bruch{3}{50} & 0 &0\\0&\bruch{1}{3}&0},U_{2}=\pmat{ 0 & \bruch{1}{3}t&0 \\ 0 & 0 &\bruch{3}{50}t\\\bruch{1}{50}&0&0},U_{3}=\pmat{ \bruch{1}{50}t & 0&0 \\ 0 & \bruch{1}{50}t &0\\0&0&\bruch{1}{50}t}=t*\pmat{ \bruch{1}{50} & 0&0 \\ 0 & \bruch{1}{50} &0\\0&0&\bruch{1}{50}}$$
[/mm]
Aber wie habe ich hier das Wort "längere" zu verstehen, was meiner Meinung nach nicht sehr viel aussagt.
Dankeschön,
Stefan.
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> Bei einer tropischen Fliegenart entwickeln sich die Eier in
> einer Woche zu Larven und diese in einer weiteren Woche zu
> Fliegen. Durch Feinde kommt ein Teil der Eier und Larven
> um. Jede Fliege legt nach einer Woche [mm]t[/mm] Eier und stirbt.
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> a) Bestimme jeweils die Übergangsmatrix für 1 Woche, 2
> Wochen und für 3 Wochen.
> b) Wie entwickelt sich die Anzahl der Fliegen über längere
> Zeiträume in Abhängigkeit von [mm]t[/mm]?
> Hallo,
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> Wäre nett, wenn ihr mir noch mal erklären könntet, was bei
> b) eigentlich verlangt ist.
>
> Also zu a):
>
> [mm]U_{1}=\pmat{ 0 & 0&t \\ \bruch{3}{50} & 0 &0\\0&\bruch{1}{3}&0},U_{2}=\pmat{ 0 & \bruch{1}{3}t&0 \\ 0 & 0 &\bruch{3}{50}t\\\bruch{1}{50}&0&0},U_{3}=\pmat{ \bruch{1}{50}t & 0&0 \\ 0 & \bruch{1}{50}t &0\\0&0&\bruch{1}{50}t}=t*\pmat{ \bruch{1}{50} & 0&0 \\ 0 & \bruch{1}{50} &0\\0&0&\bruch{1}{50}}[/mm]
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> Aber wie habe ich hier das Wort "längere" zu verstehen, was
> meiner Meinung nach nicht sehr viel aussagt.
Ich verstehe die Details Deiner Übergangsmatrix [mm] $U_1$ [/mm] nicht, aber es scheint zu gelten:
[mm]U_{3n} = \left(\frac{t}{50}\right)^n\cdot \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1},\quad n\in IN[/mm]
Also würde ich dazu neigen zu sagen (immer unter dem Vorbehalt meines Nicht-Verstehens der Detailinterpretation Deiner Übergansmatrix [mm] $U_1$), [/mm] dass sich die Zahl der Fliegen über längere Zeit ungefähr wie [mm] $n\mapsto \left(\frac{t}{50}\right)^{\frac{n}{3}}$ [/mm] verhält ($n$ := Anzahl Wochen).
Nachtrag (Revision 1.): Vielleicht könnte man noch hinzufügen, dass für $t<50$ die Fliegen langfristig aussterben und für $t>50$ die Population exponentiell anwachsen wird. Für $t=50$ wäre die Population theoretisch konstant, praktisch dürfte dieser Fall wohl kaum eintreten...
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Ein dickes Dankeschön, hört sich alles super an!
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