Grenzrate der Substitution < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:15 Do 05.10.2006 | | Autor: | Peter_Pan |
Hallo Zusammen.
geg.: [mm] f(x,y,z)=x^2*y^2*z^2
[/mm]
ges.: Grenzrate der Substitution.
Im Fall von 2 Variablen F(x,y) würde man die Grenzrate der Substitution so berechnen:
[mm](\partial F/\partial x)/(\partial F/\partial y)[/mm]
Wie berechnet man die Grenzrate der Substitution bei dem oben gegebenen Bsp.?
Danke Euch im Voraus!
Adieu, Pieter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Do 05.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Peter.
Was verstehst du unter der Grenzrate einer Substitution? Wie wurde das bei euch eingeführt?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Do 05.10.2006 | | Autor: | Peter_Pan |
Hallo Hanno!
GRS= Steigung der Tangente an eine Höhenlinie in einem bestimmten Pkt.
Danke, an den Kellersee!
Gruß, Peter. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Peter!
Der Begriff der Höhenlinie macht nur meiner Meinung nach nur im Zweidimensionalen Sinn.
Im Dreidimensionalen ergeben sich als Niveauflächen (d.h. Bereiche, auf denen $f$ konstant ist) meist 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Der Tangente an die Höhenlinie würde hier der Tangentialraum an einem Punkt solch einer Niveaufläche entsprechen.
Die Tangentialräume von Niveauflächen erhältst du über die Berechnung des Kernes des Differentiales der betrachteten Funktion an der gewünschten Stelle. Warum? Das Differential an einem Punkt gibt an, wie stark sich der Wert der Funktion bei Positionsveränderung in die verschiedenen Richtungen verändert. Da wir wissen wollen, in welche Richtung wir auf der Niveaufläche bleiben, d.h. die Funktion konstant bleibt, ist zu untersuchen, in welchen Richtungen das Differential den Wert 0 annimmt - wir müssen also den Kern des Differentials bestimmen.
Ist in diesem Falle also ein Punkt [mm] $(x_0,y_0,z_0)\in {\mathbb R}^{3}$ [/mm] gegeben, dann ist der Tangentialraum an die Niveaufläche von $f$ zum Wert [mm] $f(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] im Punkt [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] genau der Kern von [mm] $\nabla f(x_0,y_0,z_0)=2x_0y_0z_0\vektor{y_0 z_0\\ x_0 z_0\\ x_0 y_0}$. [/mm]
Kommst du nun allein weiter?
Liebe Grüße zurück :) (kommst du aus dem Norden?)
Hanno
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