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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Mo 11.05.2015
Autor: Killercat

Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der folgenden Funktion:
[mm]f(x) = \frac {1}{cos(x)} [/mm]
Es soll der Grenzwert [mm] x\rightarrow \frac{\pi}{2} [/mm] bestimmt werden, gefolgt von der Frage ob der Grenzwert auch im Komplexen existiert.

Ich hab mir bisher Gedanken gemacht, dass der cosinus in [mm] \frac {\pi}{2} [/mm] definiert ist, das heißt die Funktion f(x) würde gegen [mm]\frac {1}{0}[/mm] gehen, das kann aber auch genauso gut kompletter Mist sein.

Vielen dank schonmal

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mo 11.05.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich habe eine Frage bezüglich der folgenden Funktion:
>  [mm]f(x) = \frac {1}{cos(x)}[/mm]
>  Es soll der Grenzwert
> [mm]x\rightarrow \frac{\pi}{2}[/mm] bestimmt werden, gefolgt von der
> Frage ob der Grenzwert auch im Komplexen existiert.
>  
> Ich hab mir bisher Gedanken gemacht, dass der cosinus in
> [mm]\frac {\pi}{2}[/mm] definiert ist, das heißt die Funktion f(x)
> würde gegen [mm]\frac {1}{0}[/mm] gehen, das kann aber auch genauso
> gut kompletter Mist sein.

Im Komplexen gilt (wie im Reellen):

[mm] \bruch{1}{|cos(z)|} \to \infty [/mm] ( z [mm] \to \frac {\pi}{2}) [/mm]

Die Funktion [mm] \bruch{1}{cos(z)} [/mm] ist auf [mm] \IC [/mm] meromorph und hat in [mm] \frac {\pi}{2} [/mm] einen Pol (1. Ordnung).

FRED

>  
> Vielen dank schonmal


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mo 11.05.2015
Autor: Killercat

Danke für deine Antwort, den selben Grenzwert habe ich mit etwas Gehirnschmalz auch raus.

Was mich etwas wundert ist der Pol 1. Ordnung. Ich habe noch keine Laurentreihe zur Verfügung, könntest du kurz skizzieren wie man auf Ordnung 1 kommt?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mo 11.05.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort, den selben Grenzwert habe ich mit
> etwas Gehirnschmalz auch raus.
>  
> Was mich etwas wundert ist der Pol 1. Ordnung. Ich habe
> noch keine Laurentreihe zur Verfügung, könntest du kurz
> skizzieren wie man auf Ordnung 1 kommt?


Sei [mm] f(z):=\bruch{1}{cos(z)}. [/mm] f hat in [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] einen Pol der Ordnung 1

[mm] \gdw [/mm]

[mm] $\limes_{z\rightarrow \bruch{\pi}{2} }(z-\bruch{\pi}{2} [/mm] )f(z)$ ex. in [mm] \IC. [/mm]

wie fällt [mm] $\limes_{z\rightarrow \bruch{\pi}{2} }(z-\bruch{\pi}{2} [/mm] )f(z)$ aus ?

FRED


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