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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mo 05.12.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo zusammen!
hab schon wieder eine Frage, bzw., bin ich steckengeblieben und weiß nicht weiter...
Hier die Aufgabe:
Gegeben seien n Briefe an n verschiedene Empfänger und zugehörig
n adressierte Briefumschläge. Es gibt n! Möglichkeiten, die Briefe in diese Briefumschläge zu stecken (natürlich nur eine korrekte!). Sei [mm] a_{n} [/mm] die Anzahl der Fälle, in denen kein Brief im richtigen Umschlag steckt. Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n!} [/mm] = [mm] \frac{1}{e}.
[/mm]
was ich bis jetzt herausgefunden habe ist, dass für z.B. n = 2 (also 2 Briefe für 2 Empfänger..., dann ist
[mm] a_{n} [/mm] = 1 (aus den 2! Möglichkeiten, sind alle bis auf 1 falsch)
für n = 3 [mm] a_{n} [/mm] = 3!-1 = 5
n = 4 [mm] a_{n} [/mm] = 4!-1 = 23...also ist
[mm] a_{n} [/mm] = n!-1
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n!} [/mm] = [mm] \frac{1}{e} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n!-1}{n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1- \frac{1}{n!})
[/mm]
und weiter?...ich weiss, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!} [/mm] = e
Danke & Gruß,
roxy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 05.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo roxy
> Gegeben seien n Briefe an n verschiedene Empfänger und
> zugehörig
> n adressierte Briefumschläge. Es gibt n! Möglichkeiten,
> die Briefe in diese Briefumschläge zu stecken (natürlich
> nur eine korrekte!). Sei [mm]a_{n}[/mm] die Anzahl der Fälle, in
> denen kein Brief im richtigen Umschlag steckt. Zeigen
> Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n!}[/mm] = [mm]\frac{1}{e}.[/mm]
>
> was ich bis jetzt herausgefunden habe ist, dass für z.B. n
> = 2 (also 2 Briefe für 2 Empfänger..., dann ist
> [mm]a_{n}[/mm] = 1 (aus den 2! Möglichkeiten, sind alle bis auf 1
> falsch)
>
> für n = 3 [mm]a_{n}[/mm] = 3!-1 = 5
> n = 4 [mm]a_{n}[/mm] = 4!-1 = 23...also ist
>
> [mm]a_{n}[/mm] = n!-1
das ist falsch! dein an gibt an gibt nicht die möglichkeitn an KEINEN Brief falsch zu stecken! bei 3 Briefen gibts davon schon 2, du musst dir das induktiv überlegen. wenn es bei 3 Briefen 2 Möglichkeiten gibt, dass keiner richtig steckt, also 4 dass mindestens einer richtig steckt, was passiert, wenn ich einen umschlag und einen Empf dazu nehme!
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n!}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{e}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n!-1}{n!}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1- \frac{1}{n!})[/mm]
> und
> weiter?...ich weiss, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!}[/mm] = e
falsch! [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!}[/mm] = 0
Du musst besser auf den Unterschied Reihen und Reihenglieder achten! Und mitdenken: wenn du da nur n=2 einstzt ist es schon f!!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Di 06.12.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo leduart!
nach viel Rumprobieren und Bücher nachschlagen (ist sehr un-mathematisch, aber hilft manchmal) bin ich auf ein [mm] a_{n}=n!* \summe_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!} [/mm] hab nachgeprüft und das stimmt sogar. Leider habe ich nicht genau verstanden wie man auf die Formel gekommen ist. Dass man, wegen der beschrifteten Umschläge eine Summe bilden muss, habe ich schon verstanden...aber weiter? Hab nichts näheres gefunden, dass mich wirklich aufklären konnte und ich würde es gerne verstehen.
Danke & Gruß
roxy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Di 06.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo roxy!
Schau mal (zum Beispiel) ![[]](/images/popup.gif) hier oder im Uni-Stochastik-Forum (suchen...) oder über google:
Stichworte: fixpunktfreie Permutationen, Rencontre-Problem, Siebformel, Inklusions-Exklusions-Prinzip...
Liebe Grüße
Julius
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