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| Aufgabe | Man berechne:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ \pi} \bruch{\pi - x + tan x}{(x-\pi)^{3}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Kann mir bitte einer bei dieser Aufgabe helfen. Ich weiß nicht genau wie ich hier vorgehn soll. Wie ich Grenzwerte für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] ausrechne weiß ich jetzt schon meistens. Aber funktioniert es jetzt gegen einen bestimmten Wert?
Wenn x gegen [mm] \pi [/mm] geht, wird meiner Ansicht nach alles 0 aber dass kann nicht sein.
Danke schon mal an alle!!!!
MFG
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Wenn du [mm]x = \pi + t[/mm] substituierst, dann ist [mm]x \to \pi[/mm] gleichbedeutend mit [mm]t \to 0[/mm]:
[mm]\frac{\pi - x + \tan{x}}{\left( x - \pi \right)^3} = \frac{\tan{t} - t}{t^3}[/mm]
Hierbei wurde die Periodizität des Tangens verwendet: [mm]\tan{(t + \pi)} = \tan{t}[/mm]
Und wie es jetzt weitergeht, hängt von deinen Vorkenntnissen ab. Die Berechnung des Grenzwertes ist z.B. mittels Potenzreihen oder mit der Regel von L'Hospital möglich.
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Hallo,
Schneller kann man glaub ich gar nicht auf eine Frage antworten, danke schon mal.
soweit hab ich das glaub ich verstanden, wenn ich also Grenzwerte mit sin, cos oder tan berechnen soll, ist oft eine Substitution angesagt oder?
Den Satz von L'Hospital kenn ich nicht, ich hab es mal so versucht:
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0} (\bruch{tan t - t}{t^{3}})= \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] ( [mm] \bruch{-1}{t^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{tan t}{t^{3}})$
[/mm]
nun geht der erste Term ja gegen Null, aber was geschieht mit dem tan? Ich habe versucht ihn durch die Reihen von sin und cos darzustellen und mit dem 2ten Glied der Reihen abzuschatzen und durch [mm] t^{3} [/mm] zu teilen, dann konvergiert das alles aber wieder gegen 0.
Für eine erneute Hilfe wäre ich sehr Dankbar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Do 12.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Michael
Kannst du die Taylorreihe von tan nicht wenigstens bis [mm] x^3 [/mm] hinschreiben, dann bist du schon fertig. oder eben sin/cos bis zum 3 ten Term.
Dein Vorgehen, den Bruch aufzuteilen ist falsch, da du ja x gegen 0 betrachtest, der erste (und der zweite) Term also gegen [mm] \infty [/mm] geht!
Das oben ist der einzige Weg, ohne L'Hopital.
Gruss leduart
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ok, wenn ich den tan durch die Reihenentwicklung bis zum dritten Term darstelle, bekomm ich doch so was,
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{( t + \bruch{t^{3}}{3} + \bruch{2*t^{5}}{15}) - t}{t^{3}}=...= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(15t^{3} + 6t^{5})}{45t^{3}}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{15 + 6t^{2}}{45}= \bruch{1}{3}
[/mm]
Oder hab ich jetzt wieder was verbockt.
Danke noch mal an alle!!
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Hallo,
> ok, wenn ich den tan durch die Reihenentwicklung bis zum
> dritten Term darstelle, bekomm ich doch so was,
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{( t + \bruch{t^{3}}{3} + \bruch{2*t^{5}}{15}) - t}{t^{3}}=...= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(15t^{3} + 6t^{5})}{45t^{3}}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{15 + 6t^{2}}{45}= \bruch{1}{3}[/mm]
>
> Oder hab ich jetzt wieder was verbockt.
>
> Danke noch mal an alle!!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das stimmt! Siehe auch meine alternative Lösung!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo,
nach dreimaliger Anwendung der Regel von de l'Hospital müsste du deinen Grenzwert haben. Dieser ist dann [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Ich mach mal den Anfang:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ \pi} \bruch{\pi - x + tan x}{(x-\pi)^{3}} [/mm] $
ist ein Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Nun ableiten. Liefert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{tan(x)}{3(x-\pi)^{2}}
[/mm]
Das kannst du nun wieder ableiten...!
Viele Grüße
Daniel
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