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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 07.02.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert von $ [mm] x^{\frac{x+1}{2x}}\sqrt{sin\frac{1}{2x}}$
[/mm]
Nochmal zum Lesen:
$ [mm] x^{(x+1)/(2x)}\sqrt{sin\frac{1}{2x}}$ [/mm] |
Hi,
ich möchte den obigen Grenzwert berechnen.
Nun, ich weiß, dass die Wurzel gegen Null geht. Das [mm] x^{(x+1)/2x)} [/mm] kann ich umschreiben als [mm] x^{1/2+1/(2x))} [/mm] Und das ganze kann ich dann als e hoch etwss schreiben.
Aber wenn ich dann den Grenzwert berechne, bringt mich das auch nicht sonderlich weiter...
Kennt jemand einen Trick, wie man hier den GW berechnen kann?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Do 07.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Berechne den Grenzwert von
> [mm]x^{\frac{x+1}{2x}}\sqrt{sin\frac{1}{2x}}[/mm]
> Nochmal zum Lesen:
>
> [mm]x^{(x+1)/(2x)}\sqrt{sin\frac{1}{2x}}[/mm]
> Hi,
>
> ich möchte den obigen Grenzwert berechnen.
Ich nehme an, du meinst du Grenzwert für [mm] $x\rightarrow\infty$.
[/mm]
> Nun, ich weiß, dass die Wurzel gegen Null geht.
Richtig. Aber besser benutzt du
$ [mm] \lim_{x\rightarrow0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] =1 [mm] \implies \lim_{x\rightarrow\infty} \left(2x\sin\bruch{1}{2x}\right) [/mm] = 1$
> Das
> [mm]x^{(x+1)/2x)}[/mm] kann ich umschreiben als [mm]x^{1/2+1/(2x))}[/mm] Und
> das ganze kann ich dann als e hoch etwss schreiben.
Zieh den Faktor [mm] $x^{1/2}$ [/mm] in die Wurzel und bedenke, dass die Exponentialfunktion stetig ist, dass also
$ [mm] \lim_{x\rightarrow\infty} \exp(f(x)) [/mm] = [mm] \exp(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)) [/mm] $
ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Do 07.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi Rainer, danke für deine Antwort.
Bin jetzt soweit mit meiner Umformung:
$ [mm] x^{\frac{x+1}{2x}}\sqrt{sin\frac{1}{2x}} =x^{1/2}\*x^{1/2x}*\sqrt{sin(1/2x)}$ [/mm]
Und das habe ich nun so umgeformt:
[mm] $e^{ln(x)/2x}*\sqrt{2x*sin(1/2x)*x^{1/2}/2x}$ [/mm] Denn damit ich auf 2x*sin(1/2x) umformen kann, muss ich ja anschließend wieder durch 2x teilen.
Dann weiß ich, dass der e Teil gegen 1 geht. Das 2x sin(1/2x) geht auch gegen 1. Bleibt also noch [mm] \sqrt{\frac{x^{1/2}}{2x}} [/mm] übrig. Wenn ich das umforme, dann bin ich bei [mm] \sqrt{1/2\sqrt{x}}
[/mm]
Was aber dann auch wieder gegen 0 gehen würde.
Ich denke, dass ich da irgendwo einen Fehler gemacht habe?
Ich werde jetzt nochmal nachrechnen, aber wenn jemand den Fehler sieht, der möge sich bitte melden =)
Ach, ich hab zumindest einen Fehler gefunden: Ich darf das [mm] x^{1/2} [/mm] ja nicht ohne weitere Veränderung direkt unter die Wurzel schreiben.
Ich melde mich gleich, wenn ich fertig bin.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Do 07.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Hilfe Rainer. Komme nun auf [mm] \sqrt{1/2} [/mm] =)
Liebe Grüße,
Kroni
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