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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 24.02.2008 | | Autor: | Nessi28 |
| Aufgabe | | [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (2- [mm] \bruch{x}{x^2-1})$ [/mm] |
Hallo Leute:)
Ich übe momentan für eine Mathearbeit und weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe den Nenner;) am besten zerlegen kann, damit ich die Grenzwertgesetze besser anwenden kann???
lg
Nessi
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Du brauchst eigentlich den Nenner nicht zerlegen.
Die vier Grenzwertsätze (zur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sind dir ja sicher bekannt.
Nun ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(2-\bruch{x}{x^{2}-1}\right)
[/mm]
ja nach Grenzwertsätzen erst einmal
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(2\right) [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{x}{x^{2}-1}\right)
[/mm]
Der linke Summand ist einfach = 2, und beim rechten geht man nun folgendermaßen vor (Allgemein bei solchen Brüchen macht man das so):
Zunächst klammert man die höchste Potenz von x oben und unten aus:
= 2 - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{x^{2}*\left(\bruch{1}{x}\right)}{x^{2}*\left(1-\bruch{1}{x^{2}}\right)}\right)
[/mm]
Nun kürzt du das weg und wendest den Grenzwertsatz der Division an:
= 2 - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\bruch{1}{x}}{1-\bruch{1}{x^{2}}}\right)
[/mm]
= 2 - [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{x}\right)}{\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{x^{2}}\right)}
[/mm]
Und Funkionen wie [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] gehen für x [mm] \to \infty [/mm] natürlich gegen 0, und deswegen ergibt sich:
= 2 - [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{x}\right)}{\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{x^{2}}\right)}
[/mm]
= 2 - [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{x}\right)}{\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1\right)-\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{x^{2}}\right)}
[/mm]
= 2 - [mm] \bruch{0}{1-0}
[/mm]
= 2 - 0
= 2.
Das war jetzt sehr ausführlich und kein Lehrer wird von dir verlangen das so zu lösen, aber nur zum Verständnis hab' ichs mal so gemacht.
Es gilt übrigens allgemein:
Wenn in einem Bruch im Zähler eine höhere Potenz von x als im Nenner steht, so geht der Bruch gegen [mm] \pm\infty [/mm] für x [mm] \to \infty; [/mm] Wenn in einem Bruch im Zähler eine kleinere Potenz von x als im Nenner steht, so geht der Bruch gegen 0 für x [mm] \to \infty [/mm] (Das war bei dir oben der Fall; im Zähler war die höchste Potenz von x 1, im Nenner die höchste Potenz von x 2).
Interessant wird's also meist erst, wenn im Nenner und im Zähler eine gleichhöchste Potenz von x existiert, z.B. [mm] \bruch{x^{2}-x}{1-x^{2}}.
[/mm]
Dann ist der Grenzwert immer einfach der Quotient der Koeffizienten vor den höchsten Potenzen, also:
[mm] \bruch{x^{2}-x}{1-x^{2}} \to \bruch{1}{-1} [/mm] = -1
All das ergibt sich aus der oben für deine Aufgabe angewandten Regel. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 24.02.2008 | | Autor: | Nessi28 |
hallo steppenhahn!
viel dank für dein ausführliche antwort. jetzt hab ich das endich richtig verstanden, wie das ganze funtioniert.
und deine allgemeine regel am ende werd ich mir jetzt auch zunutzen machen. ist mir noch nie aufgefallen, bzw. wurde uns das inner schule nie so erklärt.
ein dickes dankeschön^^
lg
Nessi
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