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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwert
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 So 09.03.2008
Autor: little_doc

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}} [/mm]

x-->1
irgendwie krieg ich das mit der Darstellung oben nicht ganz hin

Was ist der Grenzwert?
wenn ich für x "1" einsetze, erhalte ich [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Folgedes habe ich mir überlegt.
Division durch Null: Nich erlaubt, also grenzwert unedlich
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] --> kürzen: Grenzwert = 1

Muss ich einen andern Ansatz wählen, um zu einem eindeutigen Ergebniss zu kommen? oder gibt es eine Regel die ich anwenden kann / muss?

vielen Danke für eure Inpus

gruess Tobias

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

Probier's mal mit binomischen Formeln!
Z.b. ist

[mm]1-x = 1^{2} - \left(\wurzel{x}\right)^{2} = (1-\wurzel{x})*(1+\wurzel{x})[/mm]

Vielleicht kann man ja kürzen? :-)

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 So 09.03.2008
Autor: little_doc

dann ensteh:



[mm] \bruch{(1-\wurzel{x})(1+\wurzel{x})}{(1-\wurzel{x})} [/mm]

dann würde sich [mm] (1-\wurzel{x}) [/mm] kürzen

und stehen bleiben täte [mm] (1+\wurzel{x}). [/mm] wennich dann x=1 setze, würde der grenzwert 2 herauskommen? richtig?

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Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

Ja, genauso macht man das :-)

Immer wenn man so einen Bruch hat und irgendwie verdächtig viele "Minusse" dastehen und im Nenner Wurzeln sind, läuft es darauf hinaus, binomische Formeln anzuwenden.

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Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 So 09.03.2008
Autor: little_doc

okey, und wir soll ich nun zb. das anpacken

lim x-->1 [mm] \bruch{x^{n}-1}{x-1} [/mm]

wenn ich für n 2 annehme, kann ich da wieder mit den binomen arbeiten. aber wenn n grösser wird?....

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Grenzwert: L'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 09.03.2008
Autor: Infinit

Hallo little_doc,
bei solchen unbestimmten Brüchen hilft der Satz von L'Hospital weiter. Zähler und Nenner getrennt einmal ableiten und dann wieder den Grenzwert einsetzen. Kommt immer noch was Unbestimmtes dabei heraus, so wiederholt man die Prozedur.
Viele Grüße,
Infinit

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Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 So 09.03.2008
Autor: little_doc

Aha

L'Hospital kommt erst nächste Vorlesung an die Reihe.

Dann werde ich ich mit Augabenlösen noch ein wenig gedulden :-)

danke jedenfalls

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:15 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

Man kann das Problem auch noch anders lösen :-)

Das Polynom [mm]x^{n} - 1[/mm] hat garantiert die Nullstelle 1. (logisch!), d.h. es existiert eine Faktorisierung

[mm]x^{n} - 1 = (x-1)*(...)[/mm]

Wenn du Polynomdivision anwendest, kommst du darauf das ein Term der Form

[mm]x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1[/mm]

entsteht, d.h.

[mm]x^{n} - 1 = (x-1)*(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1)[/mm]

Nun versuche, den Grenzwert auszuwerten!

Bezug
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