Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mo 31.01.2005 | | Autor: | joas |
Hallo,
ich soll den Grenzwert bestimmen von: [mm] x^{\bruch{1}{x-1}} [/mm] x gegen 1.
Wollte das mit l´Hospital machen. Irgendwie bekomme ich keine geeignete Umformung hin. Kann mir jemand einen Tip geben?
Gruß joas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo joas!
> ich soll den Grenzwert bestimmen von: [mm]x^{\bruch{1}{x-1}}[/mm] x gegen 1.
> Wollte das mit l´Hospital machen. Irgendwie bekomme ich
> keine geeignete Umformung hin. Kann mir jemand einen Tip
> geben?
Der Ansatz mit de l'Hospital ist richtig.
Vorher solltest Du aber folgende Umformung vornehmen:
[mm]x^{\bruch{1}{x-1}} \ = \ e^{\bruch{1}{x-1}*ln(x)} \ = \ e^{\bruch{ln(x)}{x-1}}[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 31.01.2005 | | Autor: | joas |
Danke!
Jetzt muss man ja ausklammern um auf 0 durch 0 bzw. [mm] \infty [/mm] durch [mm] \infty [/mm] zu kommen. Ich komme aber absolut nicht drauf ...
Gruß joas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Joas!
> Danke!
>
> Jetzt muss man ja ausklammern um auf 0 durch 0 bzw. [mm]\infty[/mm]
> durch [mm]\infty[/mm] zu kommen. Ich komme aber absolut nicht drauf
> ...
Naja, versuche doch mal (wegen Loddars Umformung) den Grenzwert:
[mm] $\lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}$ [/mm] nach de L'Hospital zu berechnen (wegen [m]\ln(1)=0[/m] und der Stetigkeit des [mm] $\ln$ [/mm] liegt hier der Fall [mm] "$\frac{0}{0}$" [/mm] vor).
Um damit dann [mm]\lim_{x \to 1}x^{\frac{1}{x-1}}=\lim_{x \to 1}\;e^{\frac{\ln(x)}{x-1}}=\lim_{x \to 1}\;\exp\left(\frac{\ln(x)}{x-1}\right)[/mm] zu berechnen, solltest du die Stetigkeit von [mm] $\exp$ [/mm] ausnutzen!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mi 02.02.2005 | | Autor: | fridolin |
Hallo Marcel,
> Um damit dann [mm]\lim_{x \to 1}x^{\frac{1}{x-1}}=\lim_{x \to 1}\;e^{\frac{\ln(x)}{x-1}}=\lim_{x \to 1}\;\exp\left(\frac{\ln(x)}{x-1}\right)[/mm]
> zu berechnen, solltest du die Stetigkeit von [mm]\exp[/mm]
> ausnutzen!
Warum folgt aus der Stetigkeit der e-Funktion, daß ich auch
[mm] {=\exp\left(\lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}\right)} [/mm] schreiben darf? Oder darf ich das gar nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fridolin!
> Hallo Marcel,
>
> > Um damit dann [mm]\lim_{x \to 1}x^{\frac{1}{x-1}}=\lim_{x \to 1}\;e^{\frac{\ln(x)}{x-1}}=\lim_{x \to 1}\;\exp\left(\frac{\ln(x)}{x-1}\right)[/mm]
>
> > zu berechnen, solltest du die Stetigkeit von [mm]\exp[/mm]
> > ausnutzen!
>
> Warum folgt aus der Stetigkeit der e-Funktion, daß ich
> auch
> [mm]{=\exp\left(\lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}\right)}[/mm]
> schreiben darf? Oder darf ich das gar nicht?
Doch, das darfst du wegen z.B.:
![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis, Satz 10.7, a) [mm] $\gdw$ [/mm] c) auf Seite 94, skriptinterne Zählung.
Der Satz lautet (etwas anders formuliert; die Voraussetzungen wie im Skript):
$f$ ist stetig an der Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] M$
[mm] $\gdw$
[/mm]
Entweder ist [mm] $x_0$ [/mm] kein Häufungspunkt in $M$ oder es gilt [m]\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)\;\;\,(=f\left(\lim_{x \to x_0}x\right))[/m]
(Und in deinem Fall ist [mm] $\exp$ [/mm] stetig und [mm] $x_0=1$ [/mm] ist ein Häufungspunkt von [mm] $M=\IR$, [/mm] wobei [mm] $\IR$ [/mm] mit der üblichen Betragsmetrik versehen sei.)
So, jetzt mußt du nur noch in eurer Vorlesung nach dem Satz suchen (oder nach einem analogen Satz); notfalls mußt du dir den Beweis in dem von mir angegebenem Skript angucken und den Satz so formulieren, wie du ihn brauchst und schnell für dich beweisen. Das kann ich aber nicht genau sagen, da ich deine Vorlesung ja nicht im Detail kenne. 
Aber was ja auch noch gar nicht klar ist, ist die Existenz von [mm]\lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}[/mm] (das brauchst du ja erst mal, um obigen Satz 10.7 anwenden zu können). Dazu benötigst du de L'Hospital, damit bekommst du dann heraus:
[mm] $\lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1\;\;(=x_0)$. [/mm] Solltest du einen anderen Wert für [mm] $\lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}$ [/mm] errechnet haben, so poste bitte deine Rechnung, damit wir auf Fehlersuche gehen können. 
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mi 02.02.2005 | | Autor: | fridolin |
Doch, doch ich hab auch "=1" raus.
Naja, die Begründung werd ich wohl erst morgen verstehen...
Gute Nacht und danke,
frido
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