Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
irgendwie habe ich wohl gerade ein Brett vor dem Kopf.
Ich möchte den Grenzwert von
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x} [/mm] log x
bestimmen.
Ist der = 0 ??
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo,
>
> irgendwie habe ich wohl gerade ein Brett vor dem Kopf.
> Ich möchte den Grenzwert von
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x}[/mm] log x
> bestimmen.
> Ist der = 0 ?? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, das ist er, wie hast du ihn denn herausgezwickelt?
Mit de l'Hôpital?
>
> Danke,
> Anna
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> >
> > irgendwie habe ich wohl gerade ein Brett vor dem Kopf.
> > Ich möchte den Grenzwert von
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x}[/mm] log x
> > bestimmen.
> > Ist der = 0 ??
>
> Ja, das ist er, wie hast du ihn denn herausgezwickelt?
>
> Mit de l'Hôpital?
Ja ich denke mal, dass es damit funktionieren würde.
Aber genau da habe ich ein Brett vor dem Kopf (oder wahlweise zu wenig
Erläuterung im Script). Dort steht, dass der limes von x gegen 0
für x log x = 0 ist. Und da [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] ja gegen 0 geht für x gegen 0 dachte
ich, ist dann (wegen x log x) auch der o.g. Grenzwert 0.
Aber das ist wohl mathematisch nicht so korrekt?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Ja ich denke mal, dass es damit funktionieren würde.
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x}\log x=\limes_{x\searrow 0} \frac{\overbrace{\log x}^{\to -\infty}}{\underbrace{x^{-\frac{1}{3}}}_{\to \infty}}$$
[/mm]
und jetzt l'Hospital.
EDIT: AAAAArgh, sry, da ist mir das [mm] $x^{-\frac{3}{2}}$ [/mm] von einer anderen Aufgabe, die ich grade gemacht habe, reingerutscht.
/me stellt sich in die Ecke und schämt sich. =(
> Aber genau da habe ich ein Brett vor dem Kopf (oder
> wahlweise zu wenig
> Erläuterung im Script). Dort steht, dass der limes von x
> gegen 0
> für x log x = 0 ist. Und da [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] ja gegen 0 geht
> für x gegen 0 dachte
> ich, ist dann (wegen x log x) auch der o.g. Grenzwert 0.
> Aber das ist wohl mathematisch nicht so korrekt?
Semi. Die Überlegung ist die gleiche, aber grundsätzlich ist der Logarithmus immer "langsamer" als ein Polynom und die Exponentialfunktion "schneller".
D.h. [mm] $x^{1.5}$ [/mm] geht schneller gegen 0 als der Logarithmus gegen [mm] $-\infty$.
[/mm]
EDIT: [mm] $x^{0.5}$ [/mm] natürlich auch... =)
Ob das einen Beweis darstellt, kommt drauf an, in welchem Semester Du bist. =P
ciao
Stefan
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Hallo Stefan,
DANKE für Deine Antwort.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x}\log x=\limes_{x\searrow 0} \frac{\overbrace{\log x}^{\to -\infty}}{\underbrace{x^{-\frac{3}{2}}}_{\to \infty}}[/mm]
>
> und jetzt l'Hospital.
Also ich versuche das jetzt mal.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \bruch{log x}{x^{-\bruch{3}{2}}} =\bruch{log' x}{x'^{-\bruch{3}{2}}} =\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{3}{2}x^{-\bruch{5}{2}}} [/mm]
Ist das denn soweit überhaupt richtig?
Danke,
Anna
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> Hallo Stefan,
>
> DANKE für Deine Antwort.
>
>
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x}\log x=\limes_{x\searrow 0} \frac{\overbrace{\log x}^{\to -\infty}}{\underbrace{x^{-\frac{3}{2}}}_{\to \infty}}[/mm]
>
> >
> > und jetzt l'Hospital.
>
> Also ich versuche das jetzt mal.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \bruch{log x}{x^{-\bruch{3}{2}}} =\bruch{log' x}{x'^{-\bruch{3}{2}}} =\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{3}{2}x^{-\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> Ist das denn soweit überhaupt richtig?
Hallo,
richtig weitergerechnet ist das schon,
aber der Anfang stimmt nicht ganz: es ist doch [mm] \wurzel[3]{x}=x^{\bruch{\red{1}}{3}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
logisch, es ist [mm] \bruch{1}{3}!! [/mm] Denn es ist ja [mm] x^1 [/mm] unter der Wurzel.
Also
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \bruch{log x}{x^{-\bruch{1}{3}}} =\bruch{log' x}{x'^{-\bruch{1}{3}}} =\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{3}x^{-\bruch{4}{3}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-3}{x^{-\bruch{1}{3}}}
[/mm]
oder bin ich jetzt falsch? Irgendwie hänge ich gerade :-(
Danke,
Anna
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> Hallo Angela,
>
> logisch, es ist [mm]\bruch{1}{3}!![/mm] Denn es ist ja [mm]x^1[/mm] unter der
> Wurzel.
>
> Also
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \bruch{log x}{x^{-\bruch{1}{3}}} =\bruch{log' x}{x'^{-\bruch{1}{3}}} =\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{3}x^{-\bruch{4}{3}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-3}{x^{-\bruch{1}{3}}}[/mm]
>
> oder bin ich jetzt falsch? Irgendwie hänge ich gerade :-(
Hallo,
sicher wolltest Du überall noch [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] davorschreiben.
Ansonsten ist es richtig, Du mußt bloß weitermachen: [mm] \bruch{-3}{x^{-\bruch{1}{3}}}=-3*x^\bruch{1}{3}, [/mm] und wenn hier x gegen 0 geht, kann man den Grenzwert leicht berechnen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> sicher wolltest Du überall noch [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> davorschreiben.
Stimmt, das darf man nicht vergessen.
> Ansonsten ist es richtig, Du mußt bloß weitermachen:
> [mm]\bruch{-3}{x^{-\bruch{1}{3}}}=-3*x^\bruch{1}{3},[/mm] und wenn
> hier x gegen 0 geht, kann man den Grenzwert leicht
> berechnen.
Ah, dann war ich ja doch schon kurz davor.
Hat man nämlich [mm] -3*x^\bruch{1}{3} [/mm] , dann ist
[mm] \limes_{x\to\ 0} 3*x^\bruch{1}{3} [/mm] = -3*0=0
Und somit ist gezeigt, dass der Grenzwert 0 ist. Richtig?
Danke,
Anna
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> Ah, dann war ich ja doch schon kurz davor.
> Hat man nämlich [mm]-3*x^\bruch{1}{3}[/mm] , dann ist
> [mm]\limes_{x\to\ 0} 3*x^\bruch{1}{3}[/mm] = -3*0=0
> Und somit ist gezeigt, dass der Grenzwert 0 ist. Richtig?
Ja, richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen DANK!
Aber was ist, wenn man nun z.B.
[mm] \limes_{x \to \pi} \bruch{1+cos x}{(\pi -x)^2} [/mm]
bestimmen will?
Ich weiß, dass [mm] cos(x+2\pi) [/mm] = cos x
aber wie beginne ich hier?
Danke für Tipps,
Anna
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Hallo Anna,
bei direktem Grenzübergang erhältst du ja den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also ein klarer Fall für Monsieur de l'Hôpital und seine Regel - und das gar in zweimaliger Anwendung
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ja de l'Hôpital hatte ich auch gerade erkannt (zumindest die einmalige Anwendung).
Die 1. Ableitung von
1 + cos x ist doch
-sin x
und die 1. Ableitung von
[mm] (\pi -x)^2 [/mm] ist doch
[mm] 2(\pi [/mm] -x)* (-1)
oder?
(Mensch, ist ja schlimm heute mit mir ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") )
Danke,
Anna
EDIT: Kann es sein, dass der Grenzwert -cos x ist?
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Hallo schachuzipus,
> Also nochmal feste druff mit de l'Hôpital
Genau das hatte ich getan. Aber wahrscheinlich habe ich
zu feste druffgehaun 
zweite Ableitung ist
[mm] \bruch{-cos x}{1} [/mm] = -cos x
Und ich habe natürlich vergessen, dass x gegen [mm] \pi [/mm] läuft, so dass
dann natürlich der Grenzwert -cos [mm] (\pi) [/mm] = 1 ist?????
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
willst du wohl gefälligst Zähler und Nenner (getrennt) ableiten ![[boese]](/images/smileys/boese.gif "[boese]")
[mm] $\frac{\left[\sin(x)\right]'}{\left[2(\pi-x)\right]'}=\frac{\cos(x)}{-2}=-\frac{\cos(x)}{2}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $x\to\pi$ [/mm] gegen...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ich habe dazu doch noch eine Frage:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} \wurzel[3]{x}\log x=\limes_{x\searrow 0} \frac{\overbrace{\log x}^{\to -\infty}}{\underbrace{x^{-\frac{3}{2}}}_{\to \infty}}[/mm]
>
> und jetzt l'Hospital.
Aber ist denn nicht [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} [/mm] log x = -1 ??
D.h. man dürfte die Regel gar nicht anwenden?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Di 17.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Nein, sieh Dir mal den Graphen der [mm] $\log$-Funktion [/mm] an. Dieser hat doch bei $x \ = \ 0$ eine senkrechte Asymptote, bei welcher der Graph "von ganz unten" kommt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Di 17.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
ach klar. Ich war wohl gerade leicht verwirrt ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") .
Danke,
Anna
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Und da bin ich auch schon wieder.... da dachte ich, dass ich
so langsam ein Gefühl dafür bekomme, und jetzt stocke ich schon wieder.
[mm] \limes_{x \to 0} \bruch{3^x - 27^{-x}}{e^{-x}-e^x}
[/mm]
1. Ableitung von [mm] 3^x [/mm] - [mm] 27^{-x} [/mm] ist
[mm] 3^x [/mm] * ln (3) - [mm] 27^x [/mm] * ln (27)
und von [mm] e^{-x}-e^x [/mm] ist es
[mm] -e^{-x} [/mm] - [mm] e^x
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Danke,
Anna
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Hallo!
> Und da bin ich auch schon wieder.... da dachte ich, dass
> ich
> so langsam ein Gefühl dafür bekomme, und jetzt stocke ich
> schon wieder.
> [mm]\limes_{x \to 0} \bruch{3^x - 27^{-x}}{e^{-x}-e^x}[/mm]
>
> 1. Ableitung von [mm]3^x[/mm] - [mm]27^{-x}[/mm] ist
> [mm]3^x[/mm] * ln (3) - [mm]27^x[/mm] * ln (27)
Fast, das Minus ist "verrutscht"  :
[mm]\left(3^x - 27^{-x}\right)' = 3^{x}*\ln(3) + 27^{-x}*\ln(27)[/mm]
Man leitet ja [mm] 27^{-x} [/mm] ab, indem man es zuerst umformt:
[mm] 27^{-x} [/mm] = [mm] \left(e^{\ln(27)}\right)^{-x} [/mm] = [mm] e^{-\ln(27)*x}
[/mm]
Und nun kann man auch schön sehen, dass die innere Ableitung davon
[mm] -\ln(27)
[/mm]
ist.
> und von [mm]e^{-x}-e^x[/mm] ist es
> [mm]-e^{-x}[/mm] - [mm]e^x[/mm]
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stefan.
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Hallo Stefan,
DANKE für Deine Antwort!
Dass mit dem Minus, klar.
Also habe ich [mm] \bruch{3^{x}*\ln(3) + 27^{-x}*\ln(27)}{-e^{-x} - e^x}, [/mm] was für
x gegen 0 gegen [mm] \bruch{ln(3)+ln(27)}{2} [/mm] strebt???
Danke,
Anna
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Hallo!
> Hallo Stefan,
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> DANKE für Deine Antwort!
> Dass mit dem Minus, klar.
>
> Also habe ich [mm]\bruch{3^{x}*\ln(3) + 27^{-x}*\ln(27)}{-e^{-x} - e^x},[/mm]
Richtig, nach L'Hospital sind die Grenzwerte gleich.
> was für x gegen 0 gegen [mm]\bruch{\ln(3)+\ln(27)}{2}[/mm] strebt???
Leider nicht ganz. Im Nenner steht [mm] \red{-}2 [/mm] nach Einsetzen des Wertes x = 0 ! Dann ergibt sich als Grenzwert
[mm]\bruch{\ln(3)+\ln(27)}{-2}[/mm]
Das kannst du aber noch mit den Logarithmus-Gesetzen vereinfachen :
[mm]\bruch{\ln(3)+\ln(27)}{-2}[/mm]
= [mm]\bruch{\ln(3)+\ln(3^{3})}{-2}[/mm]
= [mm]\bruch{\ln(3)+3*\ln(3)}{-2}[/mm]
= [mm]\bruch{4*\ln(3)}{-2}[/mm]
= [mm]-2*\ln(3)[/mm]
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Di 17.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Stefan,
vielen DANK für Deine Antwort!!
Gruß,
Anna
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Hallo,
noch ein Versuch.
[mm] \bruch{1-e^x}{cosh^2x}
[/mm]
Ist das richtig, dass der Grenzwert davon für x gegen 0
= 0 ist? (Mit der einfachen Begründung, dass [mm] 1-e^x [/mm] gegen 0
und [mm] cos^2 [/mm] x gegen 1 strebt)??
Danke,
Anna
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Hallo!
> Hallo,
>
> noch ein Versuch.
> [mm]\bruch{1-e^x}{cosh^2x}[/mm]
>
> Ist das richtig, dass der Grenzwert davon für x gegen 0
> = 0 ist? (Mit der einfachen Begründung, dass [mm]1-e^x[/mm] gegen
> 0
> und [mm]cos^2[/mm] x gegen 1 strebt)??
Richtig.
Ich finde, das reicht völlig. Wenn man bei einem Grenzwert einfach den Wert x einsetzen kann (wie hier der Fall), muss man keine komplizierten Sachen machen
Du solltest vielleicht nur noch kurz, falls ihr das nicht explizit behandelt habt, mit Hilfe der Definition von cosh(x) verdeutlichen, dass cosh(0) = 1.
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]"){kind=small}
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
Ach, ich liebe diese Flüchtigkeitsfehler.... :-(
