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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mo 07.07.2008
Autor: bigalow

Aufgabe
Geben Sie den Grenzwert der folgenden Reihe -falls er existiert- an:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k²-3} [/mm]

Ich bin soweit gekommen zu sagen, dass die Reihe konvergiert, da die konvergente Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k²} [/mm] eine Majorante zu dieser Funktion ist. Wie aber berechne ich den konkreten Grenzwert dieser Reihe?

Besten Dank im Voraus für eure Antworten!
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Mo 07.07.2008
Autor: angela.h.b.


> Geben Sie den Grenzwert der folgenden Reihe -falls er
> existiert- an:
>  [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k²-3}[/mm]
>  Ich bin soweit gekommen zu sagen, dass die Reihe
> konvergiert, da die konvergente Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k²}[/mm] eine Majorante zu dieser
> Funktion ist. Wie aber berechne ich den konkreten Grenzwert
> dieser Reihe?

Hallo,

ich würde da mal folgendes versuchen:

[mm] \frac{1}{12k²-3}=\frac{1}{3}*\frac{1}{2k-1}*\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3*}(\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1}). [/mm]

Vielleicht kommst Du damit weiter.

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Mo 07.07.2008
Autor: bigalow

Danke erstmal :)

Also wenn ich die Gleichung dann mit 3 durchmultipliziere komme ich per Koeffizientenvergleich auf:

A+B=0
A-B=3

->A=3/2 ; B=-3/2

Und habe damit meine Reihe [mm] \frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2}) [/mm]

Und das ist ja eine Teleskopsumme.Also [mm] \frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2})= \frac{1}{3}(\frac{3}{2}-\frac{3}{4k+2}) [/mm]

[mm] \frac{3}{4k+2} [/mm] geht gegen 0 wenn k gegen [mm] \infty [/mm] strebt, also verbleibt noch [mm] \frac{1}{3}*\frac{3}{2}=\frac{1}{2} [/mm]

Hatte mir irgendwo aufgeschrieben das die Lösung 1/6 ist. Wo liegt mein Fehler?
Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Mo 07.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo bigalow,

> Danke erstmal :)
>  
> Also wenn ich die Gleichung dann mit 3 durchmultipliziere [kopfkratz3]
> komme ich per Koeffizientenvergleich auf:
>  
> A+B=0
>  A-B=3 [notok]
>  
> ->A=3/2 ; B=-3/2 [notok]

Du musst nicht mit 3 durchmultiplizieren, den Vorfaktor [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] denke dir mal für einen Moment als aus der Reihe gezogen und davorgeschrieben.

Du musst hiervon [mm] $\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm] die PBZ machen gem. Angelas Ansatz

[mm] $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{1}{2k+1}$ [/mm]

Hier gleichnamig machen und im entstehenden Zähler nach Potenzen von k sortieren:

[mm] $=\frac{A(2k+1)+B(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k(2A+2B)+(A+B)}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm]

Das nun vergleichen mit [mm] $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm]

Dann mal eine n-te Partialsumme hinschreiben und du wirst sehen, dass alles gut wird ;-)

>  
> Und habe damit meine Reihe
> [mm]\frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2})[/mm]
>  
> Und das ist ja eine Teleskopsumme.Also
> [mm]\frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2})= \frac{1}{3}(\frac{3}{2}-\frac{3}{4k+2})[/mm]
>  
> [mm]\frac{3}{4k+2}[/mm] geht gegen 0 wenn k gegen [mm]\infty[/mm] strebt,
> also verbleibt noch [mm]\frac{1}{3}*\frac{3}{2}=\frac{1}{2}[/mm]
>  
> Hatte mir irgendwo aufgeschrieben das die Lösung 1/6 ist.
> Wo liegt mein Fehler?

In der Koeffizientenberechnung bei der PBZ


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mo 07.07.2008
Autor: bigalow

Mit A=1/2 und B=-1/2 komme ich auf das richtige Ergebnis.

Super :)
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