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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, welche Methode führt bei der Reihe oder ist am besten für die Reihe anzuwenden um auf den Grenzwert zu kommen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k * arctan(k)}
[/mm]
bzw. wie würde ich hier mit dem majorantenkriterium zeigen ob die Reihe konvergiert oder nicht?
lg Surfer
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Hallo surfer,
> Hallo, welche Methode führt bei der Reihe oder ist am
> besten für die Reihe anzuwenden um auf den Grenzwert zu
> kommen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k * arctan(k)}[/mm]
>
> bzw. wie würde ich hier mit dem majorantenkriterium zeigen
> ob die Reihe konvergiert oder nicht?
Schaue dir mal den Graphen von [mm] $f(x)=\arctan(x)$ [/mm] für [mm] $x\ge [/mm] 1$ an.
Wie sieht's mit [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(x)$ [/mm] aus?
Das kannst du benutzen, um [mm] $\arctan(k)$ [/mm] nach oben abzuschätzen und damit die Reihe nach unten abzuschätzen
Damit solltest du eine Variante einer altbekannten divergenten Minorante bekommen
LG
schachuzipus
> lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Gut also [mm] arctan(\infty) [/mm] geht gegen [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] das heißt eine untere schranke ist [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] oder was?
Ich kappier das Kriterium nicht so ganz, wir haben immer mehr mit dem Quotienten und Wurzel oder Leibniz gearbeitet, aber die Anwendung des Majoranten oder Minoranten Kriteriums ist mir nicht sehr geläufig und ehrlich gesagt habe ich nicht einmal ein Beispiel dazu, gibt es da eine bestimmte Vorgehensweise?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
> Gut also [mm]arctan(\infty)[/mm] geht gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ganz genau!
> das heißt eine untere schranke ist [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] oder was?
eine obere Schranke, die Werte von [mm] $\arctan(x)$ [/mm] sind doch alle [mm] $<\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Dh. [mm] $\arctan(k)\le\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Also [mm] $k\cdot{}\arctan(k)\le k\cdot{}\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Kehrbruch: [mm] $\Rightarrow \frac{1}{k\cdot{}\arctan(k)}\red{\ge}\frac{1}{k\cdot{}\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}\cdot{}\frac{1}{k}$
[/mm]
Den kurzen Rest du 
> Ich kappier das Kriterium nicht so ganz, wir haben immer
> mehr mit dem Quotienten und Wurzel oder Leibniz gearbeitet,
> aber die Anwendung des Majoranten oder Minoranten
> Kriteriums ist mir nicht sehr geläufig und ehrlich gesagt
> habe ich nicht einmal ein Beispiel dazu, gibt es da eine
> bestimmte Vorgehensweise?
Aber klar, bei Konvergenz suche eine konvergente Majorante, also eine bekanntermaßen konvergente Reihe, die größer ist als deine Ausgangsreihe.
Du musst deine Reihe also nach oben abschätzen, dazu kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern
Wenn die größere Reihe, also deine Majorante schon konvergent ist, also einen endlichen Reihenwert hat, so sicher auch deine kleinere Ausgangsreihe
Andersherum bei Divergenz, suche eine divergente Minorante, also eine kleinere Reihe, die bekanntermaßen divergent ist, deren Reihenwert also gegen [mm] $\infty$ [/mm] abhaut. Dann muss deine größere Ausgangsreihe zwangsläufig auch gegen [mm] $\infty$ [/mm] abhauen, also divergent sein.
Du kannst für die Abschätzung nach unten den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern
Hier in deinem Bsp. haben wir den Nenner vergrößert, indem wir für das [mm] $\arctan(k)$ [/mm] das [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] ersetzt haben
Wie sieht im Endeffekt also in deiner Aufgabe die Abschätzungskette mit deiner Reihe aus und wie schließlich die (divergente) Minorante?
Schreibs mal schön auf, dann kannst du kontrollieren (lassen), ob's "sitzt"
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> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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