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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die jeweils auf D definierten Funktionen die angegebenen Grenzwerte oder weisen Sie deren Nichtexistenz nach:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(x-1)^{2}+1}{x} D=\IR [/mm] \ {0}
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\16}\bruch{4-\wurzel{x}}{16-x} D=\IR+ [/mm] \ { 16 }
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\10}\bruch{\wurzel{(x-1)}-3}{x-10} [/mm] D={ [mm] x\in\IR|x\ge1 [/mm] } \ {10} |
Also ich steh irgendwie gerade völlig auf dem Schlauch. Das ganze ist bestimmt nicht schwer und an ähnliches kann ich mich dunkel aus meiner Schulzeit erinnern aber momentan ist es tief unten vergraben.
Wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte, kann ich allein weitermachen. Vielen Dank
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Hallo anjali,
das ist vorerst nicht so schwer. Du findest Deine Schulkenntnisse bestimmt schnell wieder, irgendwo im Hinterkopf...
> Bestimmen Sie für die jeweils auf D definierten Funktionen
> die angegebenen Grenzwerte oder weisen Sie deren
> Nichtexistenz nach:
>
> a) [mm] \limes_{\red{x}\rightarrow\infty}\bruch{(x-1)^{2}+1}{x}\ [/mm] D= [mm] \IR [/mm] \ {0}
>
> b) [mm] \limes_{\red{x}\rightarrow \red{16}}\bruch{4-\wurzel{x}}{16-x}\ [/mm] D= [mm] \IR_+ [/mm] \ {16}
>
> c) [mm] \limes_{\red{x}\rightarrow \red{10}}\bruch{\wurzel{(x-1)}-3}{x-10}\ [/mm] D={x [mm] \in\IR [/mm] | [mm] x\ge1 [/mm] } \ {10}
Ich nehme an, so sollten die Aufgaben sein?
> Also ich steh irgendwie gerade völlig auf dem Schlauch.
> Das ganze ist bestimmt nicht schwer und an ähnliches kann
> ich mich dunkel aus meiner Schulzeit erinnern aber momentan
> ist es tief unten vergraben.
Zu Aufgabe b ein Tipp: erweitere den Bruch mit [mm] (4+\wurzel{x}), [/mm] dann findest Du den Grenzwert sofort. Du darfst sogar kürzen, weil ja [mm] x\not=16 [/mm] garantiert ist, es gilt nur: [mm] x\rightarrow16. [/mm] In den erst erweiterten und dann anders gekürzten Bruch setzt Du in Gedanken die verbotene 16 ein (wohin x ja doch läuft) und hast direkt ablesbar den Grenzwert [mm] \bruch{1}{8}.
[/mm]
Aufgabe c geht genauso: Du brauchst eine geschickte Erweiterung, um die Wurzel im Zähler wegzubekommen. Sie taucht dann zwar im Nenner auf, aber Du wirst sehen, dass das eher praktisch ist. Zur Kontrolle: der Grenzwert ist [mm] \bruch{1}{6}.
[/mm]
Bleibt noch Aufgabe a. Da würde ich den Zähler mal ausrechnen und den Bruch dann aufteilen. Solange keine verbotenen Operationen dabei herauskommen (wie [mm] \infty-\infty [/mm] , das ist nicht definiert! Andererseits ist aber [mm] \infty+\infty=\infty), [/mm] gilt nämlich:
[mm] \limes{(a+b)}=\limes{a}+\limes{b}
[/mm]
Damit kannst Du hier leicht zeigen, dass kein Grenzwert existiert.
lg,
reverend
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Ja du hast natürlich Recht [mm] x-->\infty...
[/mm]
zu b) Ich hab das gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow\16}\bruch{4-\wurzel{x}}{16-x}
[/mm]
erweitert mit [mm] (4+\wurzel{x})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\16}\bruch{(4-\wurzel{x}) \times (4+\wurzel{x}}{(16-x) \times (4+\wurzel{x})}
[/mm]
ausmultipliziert (Zähler)
[mm] \bruch{16-x}{(16-x) \times (4+\wurzel{x})}
[/mm]
gekürzt:
[mm] \bruch{1}{4+\wurzel{x}}
[/mm]
c) hab ich auch erfolgreich gemeistert - eigentlich total einfach Danke.
zu a) was meinst du mit den Bruch aufteilen?
ich habe erst mal ausmultipliziert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{(x-1)^{2}+1}{x} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^{2}-2x-1+1}{x} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^{2}-2x}{x}
[/mm]
ich weiß nicht genau -- hab dann x ausgeklammert , bin aber nicht sicher ob das so schlau war:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x}{x} \times \bruch{(x-2)}{1} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}1 \times [/mm] (x-2) wenn ich das beurteilen sollte würd ich sagen 2 ist der grenzwert, aber das wahrscheinlich falsch. Wo liegt mein fehler?
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b) ist richtig.
Wenn Du bei c) das richtige Ergebnis raus hast, dann hast Du mit [mm] (\wurzel{x-1}+3) [/mm] erweitert, sonst hättest Du es nicht gefunden.
Bei a ist nun die Frage, ob x gegen 0 oder gegen [mm] \infty [/mm] laufen soll. In der ursprünglichen Aufgabenstellung stand [mm] \infty.
[/mm]
Der Grenzwert gegen 0 ist, wie Du richtig berechnet hast,
> zu a) was meinst du mit den Bruch aufteilen?
>
> ich habe erst mal ausmultipliziert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \red{0}}\bruch{(x-1)^{2}+1}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow \red{0}}\bruch{x^{2}-2x\red{+}1+1}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow \red{0}}\bruch{x^{2}-2x\red{+2}}{x}[/mm]
Da fehlte noch etwas...
Dann weiter: [mm] =\limes_{x\rightarrow 0}(x-2+\bruch{2}{x})
[/mm]
Das geht gegen [mm] \infty, [/mm] egal ob [mm] x\rightarrow0 [/mm] oder [mm] x\rightarrow \infty.
[/mm]
> ich weiß nicht genau -- hab dann x ausgeklammert , bin aber
> nicht sicher ob das so schlau war:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x}{x} \times \bruch{(x-2)}{1}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}1 \times[/mm] (x-2) wenn ich das
> beurteilen sollte würd ich sagen 2 ist der grenzwert, aber
> das wahrscheinlich falsch. Wo liegt mein fehler?
Siehe oben.
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Sa 10.01.2009 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Vielen Dank
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