Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 18.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo!
Ich habe das Problem das ich nicht weis wie ich folgende Aufgabe angehen soll.
Man berechne den Grenzwert falls existent:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n²+5n+1}-n
[/mm]
Für mich wären vor allem die Rechenbefehle interessant mit denen ihr den Term umformt da im umformen von Termen meine große Schwäche liegt bzw. ich seh in so einer Aufgabe nix auser Buchstaben und Zahlen wenn es mal wieder heisst "Das sieht man doch!". Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Liebe Grüße zaaaq
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo zaaaq,
bei solchen Aufgaben kannst du dir die dritte binomische Formel zu Nutzen machen. Ich zeige dir das mal konkret an deiner Aufgabe:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {\wurzel{n²+5n+1}-n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n²+5n+1}-n)*(\wurzel{n²+5n+1}+n)}{\wurzel{n²+5n+1}+n} [/mm] $
Die dritte binomische Formel besagt ja bekanntlich [mm] $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
[/mm]
Der Wurzelausdruck ist hierbei dein a und das "n" dein b. Demnach kannst du den Zähler nun umformen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+5n+1-n^2}{\wurzel{n²+5n+1}+n}
[/mm]
Im Zähler fällt, wie man sieht, das [mm] n^2 [/mm] weg, übrig bleibt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5n+1}{\wurzel{n²+5n+1}+n}
[/mm]
Jetzt muss nur noch der Nenner umgeformt werden, dann kannst du den Grenzwert "einfach" ablesen. Klammere hierzu das n in Zähler und Nenner aus (mit der Wurzel aufpassen), damit du es anschließend rauskürzen kannst. Von dem Term, der übrig bleibt, kannst du nun den Grenzwert durch "Hinsehen" bestimmen, wenn du dir überlegst, dass [mm] \bruch{irgendwas}{x} [/mm] gegen Null strebt.
Teil uns doch deine Lösung mit 
Lieben Gruß,
Sanne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 18.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Vielen Danke Sanne!
Ich selbst hätte das aber nie gesehen. Woran erkennt ihr an einer Aufgabe das sie genau so zu lösen ist?
Naja nun mal zur (hoffentlich richtigen) Lösung.
Ich zieh das n erstmal mit in die Wurzel in dem ich es quadriere.
Dann klammere ich das n² aus:
[mm] \bruch{n(5+ \bruch{1}{n})}{n \wurzel{1+ \bruch{5}{n}+ \bruch{1}{n²}+1}}
[/mm]
dan kürze ich das n lese ab
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \bruch{5}{ \wurzel{2}}
[/mm]
Richtig?
Schonmal Danke an der Stelle für die schnelle kompetente Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 18.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Hallo zaaaq,
[mm] \wurzel{n^2+5n-1}=\wurzel{n^2(1+\bruch{5}{n}-...)}
[/mm]
[mm] =|n|*\wurzel{1+\bruch{5}{n}-0}
[/mm]
Nun gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1+\bruch{1}{2n} [/mm] (1. Näherung)
Daraus folgt
(1) für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
|n|=n und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^2+5n-1}-n
[/mm]
[mm] =n*(1+\bruch{5}{2n}-0)-n =\bruch{5}{2}
[/mm]
(2) für [mm] n\rightarrow -\infty
[/mm]
[mm] -n*(1+\bruch{5}{2n}-0)-n =-2n-\bruch{5}{2}
[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Etwas falsche Formulierung:
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Das Prinzip hast Du dann verstanden - stimmt!
