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Forum "Schul-Analysis" - Grenzwert
Grenzwert < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: kurze Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Mo 04.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo ganz kurz!
Stimmt es, dass gilt:

[mm] \lim_{n\to\infty}x^{\bruch{1}{n}}=1? [/mm] bzw. sogar [mm] \lim_{n\to\infty}|xn|^{\bruch{1}{n}}=1? [/mm]

Wenn ja, sieht man das direkt bzw. weiß man das oder muss man das begründen?

Viele Grüße
Bastiane
[breakdance]


        
Bezug
Grenzwert: Stimmt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Mo 04.04.2005
Autor: unicon

hi Bastiane,

meiner Meinung nach stimmt das, weil der exponent [mm] \bruch{1}{n} [/mm] bei n [mm] \to \infty [/mm] gegen Null geht und dann gilt [mm] a^{0}=1 [/mm]

Bei deiner zweiten frage verhält es sich genauso, denn wenn der exponent Null ist, dann ist es egal was als Basis dort steht es wird immer 1.

wegen der frage ob man das Begründen muss oder nich bin ich mir nicht sicher aber ich denke mal nicht.


Greetzt unicon



Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Stetigkeit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mo 04.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Christiane!


Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt:
[mm]\limes_{n\to\infty}x^{\bruch{1}{n}} \ = \ x^{\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}} \ = \ x^0 \ = \ 1[/mm]





[mm]\limes_{n\to\infty}|x*n|^{\bruch{1}{n}}[/mm]

[mm]= \ \limes_{n\to\infty}|x|^{\bruch{1}{n}} \ * \ \limes_{n\to\infty}|n|^{\bruch{1}{n}}[/mm]

[mm]= \ 1 \ * \ \limes_{n\to\infty}e^{\bruch{1}{n}*\ln(n)}[/mm]

[mm]= \ e^{\limes_{n\to\infty}\bruch{\ln(n)}{n}}[/mm]   [mm] $(\star)$ [/mm]

[mm]= \ e^0 \ = \ 1[/mm]


[mm] $(\star)$ $\limes_{n\to\infty}\bruch{\ln(n)}{n} [/mm] \ = \ 0$ wegen de l'Hospital!


Grüße
Loddar



Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Mo 04.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo ihr Zwei!
Vielen Dank für die Antwort - jetzt kann ich ja beruhigt damit weiterrechnen. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[sunny]

Bezug
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