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| Aufgabe | Man berechne den Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] mit [mm] $$a_n [/mm] = [mm] (2^{2n^4+3n^2-7})^{\frac{1}{5n^4+n}}$$
[/mm]
Lösung: [mm] $lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] \sqrt[5]{4}$ [/mm] |
hi
also, ich glaub ich hab hier einfach ein brett vorm kopf.
um den "Gesamten" Grenzwert zu betrachten wollte ich die beiden Exponenten getrennt voneinander auf ihre Grenzwerte untersuchen.
Also [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}(2n^4 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] - 7) = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] (2 + [mm] \frac{3}{n^2} [/mm] - [mm] \frac{7}{n^4}) \rightarrow [/mm] 2$
Gut, [mm] $2^2$ [/mm] gibt 4, passt also schonmal.
aber mit dem andern Term komm ich nicht klar. Für mich ist [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{5n^4+n} \rightarrow [/mm] 0$ Ok, ist falsch, es soll ja [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] rauskommen - warum?
Gruß & Dank, GB
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Hallo GreatBritain!
Wende hier eines der  Potenzgesetze an mit:
[mm] $$\left( \ a^m \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$$
[/mm]
Damit ergibt sich bei Dir im Exponenten der Bruch [mm] $\bruch{2n^4+3n^2-7}{5n^4+n}$ [/mm] .
Wie lautet der Grenzwert für diesen Bruchterm?
Gruß vom
Roadrunner
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arg - wusst ichs doch - Brett vorm Kopf 
der grenzwert ist dann [mm] $\frac{2}{5}$, [/mm] und damit ist das Ergebnis [mm] $2^\frac{2}{5} [/mm] = [mm] \sqrt[5]{4}$ [/mm] - richtig oder wunschdenken
tausend dank!!!
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Hallo GreatBritain!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt's.
Gruß vom
Roadrunner
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