Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^x^3 -1}{(1-cos(x))} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier l'Hospital angewendet und habe gemerkt das dies nicht klappt, weil das irgendwie überhaupt nicht aufhört.
In der Lösung haben sie die Summe daraus gebildet d.h.:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^x^3 -1}{(1-cos(x))}=\bruch{\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{3k}}{k!}}{\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}{\bruch{x^{2k}}{2k!}}}
[/mm]
Aber hier verstehe ich nicht, wie man darauf gekommen ist. Also das die Summe von [mm] e^x^3-1=\bruch{\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{3k}}{k!}} [/mm] ist usw.
Würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
Danke im voraus!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Exponential funktion ist doch def. durch
[mm] $e^x= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Also ist
[mm] $e^{x^3}= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{3k}}{k!}$
[/mm]
und somit
[mm] $e^{x^3}-1= \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{3k}}{k!}$
[/mm]
Ähnliches für den Cosinus
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
danke für den Hinweis!
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hallo,
zweimal l'hopital führt dich aber auch zum ziel !
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> hallo,
>
> zweimal l'hopital führt dich aber auch zum ziel !
>
> lg
ich habe dies versucht, aber irgendwo mache ich anscheinend einen Fehler:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{e^x^3 -1}{x(1-cos(x)}=0/0 [/mm] -> [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{3x^2*e^x^3}{(1-cos(x)*sin(x)}=0/0-> \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{e^x^3(6x+9x^4)}{2(2sin(x)*cos(x))-sin(x)}
[/mm]
und das ist wieder 0/0
kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > hallo,
> >
> > zweimal l'hopital führt dich aber auch zum ziel !
> >
> > lg
>
>
> ich habe dies versucht, aber irgendwo mache ich anscheinend
> einen Fehler:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{e^x^3 -1}{x(1-cos(x)}=0/0[/mm] ->
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{3x^2*e^x^3}{(1-cos(x)*sin(x)}=0/0-> \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{e^x^3(6x+9x^4)}{2(2sin(x)*cos(x))-sin(x)}[/mm]
>
> und das ist wieder 0/0
>
> kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?
Geht es nun um
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))} [/mm]
oder (wie Du oben geschrieben hast) um
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{1-cos(x)} [/mm]
??
Jedenfalls ist oben die Ableitung von x(1-cos(x)) falsch
FRED
>
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
> Geht es nun um
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))}[/mm]
>
> oder (wie Du oben geschrieben hast) um
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{1-cos(x)}[/mm]
>
> ??
>
Ich habe mich oben verschrieben, es geht um:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))}[/mm]
> Jedenfalls ist oben die Ableitung von x(1-cos(x)) falsch
Für die Ableitung habe ich jetzt:
(1-cos(x)+(x*sin(x)) das ergibt 0 für x->0
d.h. ich kann wieder l'Hospital anwenden weil wir ja 0/0 haben.
Da nur der Nenner falsch abgeleitet war, leite ich auch hier nur (1-cos(x)+(x*sin(x)) ab:
sin(x)+(sin(x)(x*cos(x)))
aber auch das ergibt Null. D.h. ich mache immer noch etwas falsch....
Melisa
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Hallo melisa1,
> Hallo nochmal,
>
>
> > Geht es nun um
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))}[/mm]
> >
> > oder (wie Du oben geschrieben hast) um
> >
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{1-cos(x)}[/mm]
> >
> > ??
> >
>
>
>
> Ich habe mich oben verschrieben, es geht um:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))}[/mm]
>
>
>
> > Jedenfalls ist oben die Ableitung von x(1-cos(x)) falsch
>
>
> Für die Ableitung habe ich jetzt:
>
> (1-cos(x)+(x*sin(x)) das ergibt 0 für x->0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> d.h. ich kann wieder l'Hospital anwenden weil wir ja 0/0
> haben.
>
> Da nur der Nenner falsch abgeleitet war, leite ich auch
> hier nur (1-cos(x)+(x*sin(x)) ab:
>
> sin(x)+(sin(x)(x*cos(x))) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $\left[(1-\cos(x))+x\cdot{}\sin(x)\right]'=[1-\cos(x)]'+[x\cdot{}\sin(x)]'$
[/mm]
[mm] $=\sin(x)+\text{Produktregel anwenden!!}$
[/mm]
Meine Überschlagsrechnung ergibt, dass du nochmal den Fall [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] erhältst, abe´r mit einer weiteren Anwendung von de l'Hôpital endlich zum Ziel kommen solltest ...
>
> aber auch das ergibt Null. D.h. ich mache immer noch etwas
> falsch....
>
>
>
>
> Melisa
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
>
> Es ist
> [mm]\left[(1-\cos(x))+x\cdot{}\sin(x)\right]'=[1-\cos(x)]'+[x\cdot{}\sin(x)]'[/mm]
>
> [mm]=\sin(x)+\text{Produktregel anwenden!!}[/mm]
>
>
x*sin(x) ergibt doch mit der Produktregel: sin(x)+x*cos(x) ich versteh nicht, was daran falsch ist?
Lg Melisa
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Hallo Melisa!
> x*sin(x) ergibt doch mit der Produktregel: sin(x)+x*cos(x)
> ich versteh nicht, was daran falsch ist?
So stimmt es auch. Oben hattest Du anstelle des Pluszeichens etwas Falsches stehen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
ohh jaa das habe ich gar nicht gemerkt....danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
>
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> Meine Überschlagsrechnung ergibt, dass du nochmal den Fall
> [mm]\frac{0}{0}[/mm] erhältst, abe´r mit einer weiteren Anwendung
> von de l'Hôpital endlich zum Ziel kommen solltest ...
>
> >
Durch nochmaliges anwenden von l'Hospital erhalte ich:
[mm] \bruch{e^x^3(54x^3+27x^6+6x)}{cos(x)+cos(x)+x*(-sin(x))}=0/2 [/mm]
der Grenzwert müsste aber laut Lösung 2 sein.
Melisa
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Hallo,
also das mit dem Ableiten üben wir nochmal...
Nun, also Schritt für Schritt:
[mm] \limes_{x\to 0}\frac{e^{x^3}-1}{x(1-\cos(x))}
[/mm]
L'Hôpital Nr.1
[mm] =\limes_{x\to 0}\frac{3x^2e^{x^3}}{1-\cos(x)+x\sin(x)}
[/mm]
L'Hôpital Nr.2
[mm] =\limes_{x\to 0}\frac{e^{x^3}(9x^4+6x)}{2\sin(x)+x\cos(x)}
[/mm]
L'Hôpital Nr.3
[mm] =\limes_{x\to 0}\frac{e^{x^3}*(9x^4+36x^3+3x^2+6x+6)}{3\cos(x)+x\sin(x)}
[/mm]
Alternativ:
Nutze die Potenzreihenentwicklung für [mm] e^{x} [/mm] und [mm] \cos(x), [/mm] dann ergibt sich:
[mm] \limes_{x\to 0}\frac{e^{x^3}-1}{1-\cos(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\to 0}\frac{\left(1+x^3+\frac{x^6}{2!}+...\right)-1}{x\left(1-\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...\right)\right)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\to 0}\frac{x^3*\left(1+\frac{x^3}{2!}+...\right)}{\frac{x^3}{2}*\left(1-\frac{x}{12}+...\right)}
[/mm]
[mm] =2*\limes_{x\to 0}\frac{1+\frac{x^3}{2!}+...}{1-\frac{x}{12}+...}=2
[/mm]
So, jetzt kannst Du dür Dich entscheiden, was einfacher ist.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 29.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
vielen vielen dank an alle, die geholfen haben!
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
>
> > Geht es nun um
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))}[/mm]
> >
> > oder (wie Du oben geschrieben hast) um
> >
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{1-cos(x)}[/mm]
> >
> > ??
> >
>
>
>
> Ich habe mich oben verschrieben, es geht um:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x^3} -1}{x(1-cos(x))}[/mm]
>
>
>
> > Jedenfalls ist oben die Ableitung von x(1-cos(x)) falsch
>
>
> Für die Ableitung habe ich jetzt:
>
> (1-cos(x)+(x*sin(x)) das ergibt 0 für x->0
>
> d.h. ich kann wieder l'Hospital anwenden weil wir ja 0/0
> haben.
>
> Da nur der Nenner falsch abgeleitet war, leite ich auch
> hier nur (1-cos(x)+(x*sin(x)) ab:
>
> sin(x)+(sin(x)(x*cos(x)))
>
> aber auch das ergibt Null. D.h. ich mache immer noch etwas
> falsch....
>
Warum machst Du es denn nicht mit Potenzreihen. Das geht viel schneller und völlig mühelos
FRED
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>
> Melisa
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