Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 26.01.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | Gesucht:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{3x+2}}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] -->\wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(x+1)/x}- \wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(3x+2)/x} [/mm] |
Wie mache ich weiter?
Gruß joooo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{3x+2}}{\wurzel{x}}[/mm]
Erweitere [mm] \bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{3x+2}}{\wurzel{x}} [/mm] mit [mm] \wurzel{x+1}+\wurzel{3x+2}
[/mm]
FRED
>
> [mm]-->\wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(x+1)/x}- \wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(3x+2)/x}[/mm]
>
> Wie mache ich weiter?
>
> Gruß joooo
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gesucht:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{3x+2}}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]-->\wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(x+1)/x}- \wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(3x+2)/x}[/mm]
>
> Wie mache ich weiter?
die Idee ist gar nicht schlecht gewesen. Du darfst den Limes jeweils wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion unter die Wurzel ziehen, wenn die Grenzwerte darunter existieren (folgt wegen Stetigkeit der Wurzelfunktion oder auch aus $0 [mm] \le a_n \to [/mm] a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \sqrt{a_n} \to \sqrt{a}$).
[/mm]
Weiter brauchst Du, dass die Summenfolge zweier konvergenter Folgen gegen die Summe der Grenzwerte konvergiert. (Und "Rechenregeln für Wurzeln".)
Daher ist hier die eigentliche Logik die:
Wegen [mm] $1=\sqrt{1}=\sqrt{1+0}=\sqrt{1+\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}}=\sqrt{\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x}}=\lim_{x \to \infty}\sqrt{\frac{x+1}{x}}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{3}=\sqrt{3+0}+0=\sqrt{3+\lim_{x \to \infty}\frac{2}{x}}=\sqrt{\lim_{x \to \infty}\frac{3x+2}{x}}=\lim_{x \to \infty}\sqrt{\frac{3x+2}{x}}$ [/mm] ist
[mm] $$1-\sqrt{3}=\wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(x+1)/x}- \wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(3x+2)/x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel{(x+1)/x}- \limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel{(3x+2)/x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{3x+2}}{\wurzel{x}}}_{=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{3x+2}}{\sqrt{x}}}$$
[/mm]
der gesuchte Grenzwert.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
Mit Freds Vorschlag solltest Du als Grenzwert
[mm] $$\frac{-2}{1+\sqrt{3}}\,,$$
[/mm]
mit meinem als Grenzwert
[mm] $$1-\sqrt{3}$$
[/mm]
erhalten. Diese Grenzwerte sollten natürlich nur einer sein. Dass aber in der Tat
[mm] $$\frac{-2}{1+\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}$$
[/mm]
gilt, erkennst Du, indem Du die Gleichung in eine äquivalente umformst, wenn Du die gesamte Gleichung mit [mm] $1+\sqrt{3}$ [/mm] multiplizierst.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mi 26.01.2011 | | Autor: | jooo |
Danke für die ausführliche Antwort! Konnte sie nachvollziehen 
Hat mir sehr geholfen!
Gruß Jooo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jooo,
> Danke für die ausführliche Antwort! Konnte sie
> nachvollziehen
> Hat mir sehr geholfen!
gerne. Hast Du auch Freds Vorschlag nachvollzogen? Da braucht man an einer Stelle auch (unter anderem) die Stetigkeit der Wurzelfunktion und sowas wie
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n+...+a_1x^1+a_0}{b_n x^n+...+b_1x^1+b_0}=\frac{a_n}{b_n}\,,$$
[/mm]
was man sich einfach durch "Vorklammern von [mm] $x^n$ [/mm] im Zähler und Nenner und dann mit 'Rechenregln für konvergente Folgen/Funktioen'" überlegen kann.
P.S.:
Mit de l'Hospital kann man sich diese Beziehung auch überlegen; allerdings ist das wie mit Kanonen auf Spatzen schießen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 26.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Gesucht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{3x+2}}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]-->\wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(x+1)/x}- \wurzel{\limes_{x\rightarrow\infty}(3x+2)/x}[/mm]
>
> Wie mache ich weiter?
>
> Gruß joooo
>
Du kannst auch im Zähler [mm] \wurzel{x} [/mm] ausklammern.
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel{x}\bruch{\wurzel{1+\bruch{1}{x}}-\wurzel{3+\bruch{2}{x}}}{\wurzel{x}}[/mm]
Daraus wird
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{1+\bruch{1}{x}}-\wurzel{3+\bruch{2}{x}})[/mm].
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 26.01.2011 | | Autor: | jooo |
Danke für den Hinweis!
Gruß Jooo
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