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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert
Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Mi 29.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo!
Ich hab ein Funktion:
  [mm] \limes_{x\rightarrow\,1} x^{ \bruch{1}{x-1}} [/mm]
und soll den Grenzwert bestimmen.
Ich hab umgeformt:
  [mm] \limes_{x\rightarrow\,1} e^{ \bruch{1}{x-1}*lnx} [/mm]
aber mit welcher "Form" von de l´Hospital mach ich jetzt weiter?
kann mir das jemand anschaulich erklären?
danke
gruss m.
        
Bezug
Grenzwert: Ausdruck 0/0
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 29.06.2005
Autor: Loddar

Hallo marrrtina!


> [mm]\limes_{x\rightarrow\,1} x^{ \bruch{1}{x-1}}[/mm]

> Ich hab umgeformt:  [mm]\limes_{x\rightarrow\,1} e^{ \bruch{1}{x-1}*lnx}[/mm]

[daumenhoch]


Aufgrund der Stetigkeit der e-Funktion dürfen wir auch schreiben:

[mm]\limes_{x\rightarrow 1} e^{\bruch{1}{x-1}*\ln(x)} \ = \ e^{\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1}{x-1}*\ln(x)}[/mm]


Wir betrachten nun also:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1}{x-1}*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{\ln(x)}{x-1}$ [/mm]


Wenn wir nun also einfach mal für x einsetzten $x \ = \ 1$, entstünde der Ausdruck:

[mm] $\bruch{\ln(1)}{1-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{0}$ [/mm]


Damit haben wir nun die Voraussetzung, daß wir auch wirklich mit dem MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten dürfen.


Kannst Du nun MBde l'Hospital anwenden und den Grenzwert bestimmen?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 29.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo Loddar!
[mm] \limes_{x\rightarrow\,1} \bruch{lnx}{x-1} [/mm]
dann de l´Hospital: [mm] \limes_{x\rightarrow\,1} \bruch{\bruch{1}{x}}{1} [/mm]
=0
d.h.: [mm] e^{0} [/mm] = 1
richtig so?
vielen lieben Dank Loddar!
gruss m.
Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Mi 29.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo nochmal,
ich meinte natürlich:  
  [mm]\limes_{x\rightarrow\,1} \bruch{\bruch{1}{x}}{1}[/mm]

= 1
d.h.: [mm]e^{1}[/mm] = e
jetzt richtig ?
  gruss m.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: So stimmt's ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mi 29.06.2005
Autor: Loddar

Hallo marrrtina!


> ich meinte natürlich:  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\,1} \bruch{\bruch{1}{x}}{1}[/mm] = 1  d.h.: [mm]e^{1}[/mm] = e

Das sieht schon viiieeel besser aus ;-) ...


Also: [daumenhoch] !!


System jetzt verstanden? [lichtaufgegangen] ??

Gruß
Loddar

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Mi 29.06.2005
Autor: marrrtina

Ja, ich denke ich habs jetzt verstanden..
nochmal vielen Dank....und bis zum nächsten Problem
gruss
m.
Bezug
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