Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 17.07.2011 | | Autor: | kioto |
warum ist
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} [/mm] = e?
ich sieh es einfach nicht, wir dürfen auch keinen teschenrechner benutzen, was kann ich hier oder in solchen fällen machen?
danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 17.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo kioto!
> warum ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}= e[/mm] ?
> ich sieh es einfach nicht,
Das kannst Du auch nicht sehen, weil gilt: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ = \ \red{1}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 17.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo kioto!
>
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> > warum ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}= e[/mm] ?
> > ich sieh es einfach nicht,
>
> Das kannst Du auch nicht sehen, weil gilt:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ = \ \red{1}[/mm] .
ist das einfach ein formel oder gesetz? das sieh ich wenn ich mit taschenrechner rechne, also immer größere werte einsetze, wie bekomme ich das ohne rechner raus?
>
oops, war verrutscht, danke trotzdem.
und bei
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{\bruch{1}{i!}} [/mm] = e? hier weiß ich nicht mal wie ich durch einsetzen was rausbekomme, ist ja ne summe
> Gruß
> Loddar
>
danke
k
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Hallo kioto,
so werden die Threads leicht unübersichtlich. Das beste ist, Du machst zu jeder Aufgabe einen neuen auf, jedenfalls nicht zwei Aufgaben in einer Frage. Ich beantworte erstmal die erste, später vielleicht mehr...
> > > warum ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}= e[/mm] ?
> > > ich sieh es einfach nicht,
> >
> > Das kannst Du auch nicht sehen, weil gilt:
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ = \ \red{1}[/mm] .
> ist das einfach ein formel oder gesetz? das sieh ich wenn
> ich mit taschenrechner rechne, also immer größere werte
> einsetze, wie bekomme ich das ohne rechner raus?
Du kannst es später anwenden wie ein Gesetz; es ist wichtiges Wissen im Umgang mit Reihen und findet Anwendung z.B. im Wurzelkriterium. Aber erst einmal musst Du es zeigen.
Versuch doch einmal dies zu zeigen: [mm] \wurzel[k]{k}<1+\bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
Es gibt aber auch noch andere Wege.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 17.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo kioto,
>
danke erstmal für die ausführliche antwort
> so werden die Threads leicht unübersichtlich. Das beste
> ist, Du machst zu jeder Aufgabe einen neuen auf, jedenfalls
> nicht zwei Aufgaben in einer Frage. Ich beantworte erstmal
> die erste, später vielleicht mehr...
>
> > > > warum ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}= e[/mm] ?
> > > > ich sieh es einfach nicht,
> > >
> > > Das kannst Du auch nicht sehen, weil gilt:
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ = \ \red{1}[/mm] .
> > ist das einfach ein formel oder gesetz? das sieh ich
> wenn
> > ich mit taschenrechner rechne, also immer größere werte
> > einsetze, wie bekomme ich das ohne rechner raus?
>
> Du kannst es später anwenden wie ein Gesetz; es ist
> wichtiges Wissen im Umgang mit Reihen und findet Anwendung
> z.B. im Wurzelkriterium. Aber erst einmal musst Du es
> zeigen.
>
> Versuch doch einmal dies zu zeigen:
> [mm]\wurzel[k]{k}<1+\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
>
also wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[k]{k} [/mm] = [mm] k^{\bruch{1}{k}} [/mm] => [mm] \wurzel[k]{ k^{\bruch{1}{k}}} [/mm] = [mm] k^{\bruch{1}{k^2}} [/mm] für k gegen unendlich wär dann 1.
[mm] \wurzel[k]{1+\bruch{1}{\wurzel{k}}} [/mm] = (1+ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}})^{\bruch{1}{k}}) [/mm] = [mm] 1^{\bruch{1}{k}} [/mm] + [mm] k^{-\bruch{1}{2k}} [/mm]
für k gegen unendlich wär [mm] 1^{\bruch{1}{k}} [/mm] ja 1, und [mm] k^{-\bruch{1}{2k}} [/mm] auch 1, oder doch nicht........
> Es gibt aber auch noch andere Wege.
>
> Grüße
> reverend
>
>
>
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Hallo kioto,
oh, jetzt habe ich Dich wohl auf eine falsche Spur gelockt, oder Du hast mich missverstanden.
Ich hatte geschrieben:
> > Du kannst es später anwenden wie ein Gesetz; es ist
> > wichtiges Wissen im Umgang mit Reihen und findet Anwendung
> > z.B. im Wurzelkriterium. Aber erst einmal musst Du es
> > zeigen.
Du kannst auf die Aufgabe das Wurzelkriterium nicht anwenden, es handelt sich ja nicht um eine Reihe. Was ich damit sagen wollte ist, dass das Wurzelkriterium darauf beruht, dass [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] für [mm] k\to\infty [/mm] gegen 1 geht.
> > Versuch doch einmal dies zu zeigen:
> > [mm]\wurzel[k]{k}<1+\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
> >
> also wurzelkriterium:
> [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = [mm]k^{\bruch{1}{k}}[/mm] => [mm]\wurzel[k]{ k^{\bruch{1}{k}}}[/mm]
> = [mm]k^{\bruch{1}{k^2}}[/mm] für k gegen unendlich wär dann 1.
Nein, das geht hier, wie gesagt nicht. Außerdem: woran "sieht" man denn dass das gegen 1 geht? Es ist doch gerade die Frage, wie man so etwas zeigt.
> [mm]\wurzel[k]{1+\bruch{1}{\wurzel{k}}}[/mm] = (1+
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}})^{\bruch{1}{k}})[/mm] = [mm]1^{\bruch{1}{k}}[/mm] +
> [mm]k^{-\bruch{1}{2k}}[/mm]
> für k gegen unendlich wär [mm]1^{\bruch{1}{k}}[/mm] ja 1, und
> [mm]k^{-\bruch{1}{2k}}[/mm] auch 1, oder doch nicht........
So kannst Du eine Potenz doch nicht auflösen. [mm] (a+b)^2 [/mm] ist ja auch nicht [mm] a^2+b^2. [/mm]
Es ging darum, zu zeigen [mm] \limes_{k\to\infty}\wurzel[k]{k}=1
[/mm]
Ich hatte vorgeschlagen, erst einmal zu zeigen [mm] \wurzel[k]{k}<1+\bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
Da beide Seiten der Ungleichung >1 sind, dürfen wir sie in die k-te Potenz erheben:
[mm] k<\left(1+\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^k
[/mm]
Nun schätzen wir ab, indem wir die rechte Seite mit Hilfe der binomischen Formel entwickeln. Dabei dürfen wir k>3 voraussetzen, es geht uns ja um die Betrachtung von [mm] k\to\infty:
[/mm]
[mm] k<1^k+\vektor{k\\1}\bruch{1}{\wurzel{k}}+\vektor{k\\2}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^2+\vektor{k\\3}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^3+\summe_{i=4}^{k}\vektor{k\\i}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^i
[/mm]
Ich habe die ersten vier Glieder also mal hingeschrieben und die restlichen in der Summe am Ende zusammengefasst. Wir wissen von dieser Summe, dass sie >0 sein muss.
Kannst Du die anderen Glieder ausrechnen und damit schon die Behauptung zeigen?
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:40 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kioto |
Hallo reverend,
>
> oh, jetzt habe ich Dich wohl auf eine falsche Spur gelockt,
> oder Du hast mich missverstanden.
>
> Ich hatte geschrieben:
>
> > > Du kannst es später anwenden wie ein Gesetz; es ist
> > > wichtiges Wissen im Umgang mit Reihen und findet Anwendung
> > > z.B. im Wurzelkriterium. Aber erst einmal musst Du es
> > > zeigen.
>
> Du kannst auf die Aufgabe das Wurzelkriterium nicht
> anwenden, es handelt sich ja nicht um eine Reihe. Was ich
> damit sagen wollte ist, dass das Wurzelkriterium darauf
> beruht, dass [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm] gegen 1 geht.
>
> > > Versuch doch einmal dies zu zeigen:
> > > [mm]\wurzel[k]{k}<1+\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
> > >
> > also wurzelkriterium:
> > [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = [mm]k^{\bruch{1}{k}}[/mm] => [mm]\wurzel[k]{ k^{\bruch{1}{k}}}[/mm]
> > = [mm]k^{\bruch{1}{k^2}}[/mm] für k gegen unendlich wär dann 1.
>
> Nein, das geht hier, wie gesagt nicht. Außerdem: woran
> "sieht" man denn dass das gegen 1 geht? Es ist doch gerade
> die Frage, wie man so etwas zeigt.
>
> > [mm]\wurzel[k]{1+\bruch{1}{\wurzel{k}}}[/mm] = (1+
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}})^{\bruch{1}{k}})[/mm] = [mm]1^{\bruch{1}{k}}[/mm] +
> > [mm]k^{-\bruch{1}{2k}}[/mm]
> > für k gegen unendlich wär [mm]1^{\bruch{1}{k}}[/mm] ja 1, und
> > [mm]k^{-\bruch{1}{2k}}[/mm] auch 1, oder doch nicht........
>
> So kannst Du eine Potenz doch nicht auflösen. [mm](a+b)^2[/mm] ist
> ja auch nicht [mm]a^2+b^2.[/mm]
>
> Es ging darum, zu zeigen
> [mm]\limes_{k\to\infty}\wurzel[k]{k}=1[/mm]
>
> Ich hatte vorgeschlagen, erst einmal zu zeigen
> [mm]\wurzel[k]{k}<1+\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
>
> Da beide Seiten der Ungleichung >1 sind, dürfen wir sie in
> die k-te Potenz erheben:
>
> [mm]k<\left(1+\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^k[/mm]
>
> Nun schätzen wir ab, indem wir die rechte Seite mit Hilfe
> der binomischen Formel entwickeln. Dabei dürfen wir k>3
> voraussetzen, es geht uns ja um die Betrachtung von
> [mm]k\to\infty:[/mm]
>
> [mm]k<1^k+\vektor{k\\1}\bruch{1}{\wurzel{k}}+\vektor{k\\2}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^2+\vektor{k\\3}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^3+\summe_{i=4}^{k}\vektor{k\\i}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^i[/mm]
>
> Ich habe die ersten vier Glieder also mal hingeschrieben
> und die restlichen in der Summe am Ende zusammengefasst.
> Wir wissen von dieser Summe, dass sie >0 sein muss.
>
> Kannst Du die anderen Glieder ausrechnen und damit schon
> die Behauptung zeigen?
>
ich kann doch i gleich n setzen, also [mm] \summe_{i=n}^{k}\vektor{k\\i}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}\right)^i
[/mm]
ist es hier nicht schon offensichtlich dass die ungleichung gilt?
sorry, beweisaufgaben quälen mich schon immer, ich kanns irgendwie einfach nicht.....
trotzdem danke
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 20.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nochmal,
jetzt mal zur zweiten Aufgabe, auch ein Klassiker.
> und bei
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{\bruch{1}{i!}}[/mm] = e?
Du meinst bestimmt [mm] \limes_{k\to\infty}\summe_{i=0}^{k}\bruch{1}{i!}
[/mm]
> hier weiß ich nicht mal wie ich durch einsetzen was
> rausbekomme, ist ja ne summe
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Da steht doch nur in Kurzschreibweise:
[mm] \bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\cdots=\bruch{1}{1}+\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}+\cdots=\bruch{16}{6}+\cdots
[/mm]
Hier ist es bis zum Glied k=3 ausgeschrieben. Rechne mal ein bisschen weiter, und schau Dir an, was mit Deinem Zwischenergebnis "passiert" - also was Du in jedem einzelnen Schritt mit ihm tust.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:41 So 17.07.2011 | | Autor: | Valerie20 |
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} k^{\bruch{1}{k}}= k^{0}=1
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:20 So 17.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Valerie!
Ganz so einfach ist es (leider nicht). Du musst schon beide Male das $k_$ ersetzen und würdest dann einen unbestimmten Ausdruck der Form " [mm] $\infty^0$ [/mm] " erhalten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Mo 18.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau mal hier
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