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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mi 27.07.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Grenzwert berechnen,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n*sin(\bruch{1}{n})} [/mm] |
Hallo,
die oben gezeigt Aufgabe soll hier eher als Beispiel dienen!
Hier mein Ansatz bzw.meine dazu gehörigen Fragen,
Zunächst habe ich folgenden Grenzwert beachtet.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*sin(\bruch{1}{n}). [/mm] Die habe ich mithilfe einer Substitution gelöst und zwar [mm] k=\bruch{1}{n}\limes_{n\rightarrow0}\bruch{sin(k)}{k}=1
[/mm]
Hierzu meine ersten Fragen. Gibt es ein Anzeichen dafür das man die mit Substitution lösen sollte? Ändert sich der Grenzwert immer wenn man substituiert damit meine ich das aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] zu [mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] wird? Ich versteh nicht warum aus [mm] \infty [/mm] plötzlich 0 wird. Kann mir das vllt jemand erklären.?
Dann habe ich folgendes betrachtet,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{3}{n})^{n}= e^{3}
[/mm]
. Dieses Teilergebnis müsste richtig sein da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{n})^{n}=e^{a} [/mm] ein bekannter Grenztwert ist. ( So nennt das unser Lehrer immer) aber das erklärt sich mir ehrlich gesagt irgendwie nicht. Muss man solche Grenzwerte einfach wissen ?
Das komplett Ergebnis müsste [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n*sin(\bruch{1}{n})}= \wurzel{e^{3}+1} [/mm] lauten.
mfg
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Hallo RWBK,
> Grenzwert berechnen,
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n*sin(\bruch{1}{n})}[/mm]
> Hallo,
>
> die oben gezeigt Aufgabe soll hier eher als Beispiel
> dienen!
> Hier mein Ansatz bzw.meine dazu gehörigen Fragen,
>
> Zunächst habe ich folgenden Grenzwert beachtet.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*sin(\bruch{1}{n}).[/mm] Die habe
> ich mithilfe einer Substitution gelöst und zwar
> [mm]k=\bruch{1}{n}\limes_{n\rightarrow0}\bruch{sin(k)}{k}=1[/mm]
Das ist eine gute Idee, aber schlecht zu lesen?
Formatfehler?
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot{}\sin(1/n)=\lim\limits_{k\to 0}\frac{\sin(k)}{k}=1$ [/mm] sollte es wohl heißen 
> Hierzu meine ersten Fragen. Gibt es ein Anzeichen dafür
> das man die mit Substitution lösen sollte? Ändert sich
> der Grenzwert immer wenn man substituiert damit meine ich
> das aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] zu
> [mm]\limes_{n\rightarrow0}[/mm] wird?
Er wird zu [mm] $\lim\limits_{k\to 0}$
[/mm]
Auf die Idee mit der Substitution kommt man rechnt schnell, wenn man den (sehr bekannten) GW [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ [/mm] schon mal gesehen hat.
Hier hast du [mm] $n\to\infty$ [/mm] und substituierst [mm] $n=\frac{1}{k}$ [/mm] (also $k=1/n$)
Wenn [mm] $n\to\infty$ [/mm] geht also [mm] $k=\frac{1}{n}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
> Ich versteh nicht warum aus
> [mm]\infty[/mm] plötzlich 0 wird. Kann mir das vllt jemand
> erklären.?
>
> Dann habe ich folgendes betrachtet,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{3}{n})^{n}= e^{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> .
> Dieses Teilergebnis müsste richtig sein da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{n})^{n}=e^{a}[/mm] ein
> bekannter Grenztwert ist. ( So nennt das unser Lehrer
> immer) aber das erklärt sich mir ehrlich gesagt irgendwie
> nicht. Muss man solche Grenzwerte einfach wissen ?
Ja, das sollte man unbedingt wissen!
Das ist eine Möglichkeit, die Exponentialfunktion zu definieren als GW der oben genannten Folge:
Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\in\IC$ [/mm] ist [mm] $e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+x/n\right)^n$
[/mm]
> Das komplett Ergebnis müsste
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n*sin(\bruch{1}{n})}= \wurzel{e^{3}+1}[/mm]
> lauten.
Jo, sehr gut überlegt!
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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