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Grenzwert: Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

Aufgabe
Berechne gegebenfalls den Grenzwert und untersuche auf Konvergenz:
[mm] \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm] Folge

Ich hab leider keine ahnung wie ich den limes der folge berechne?
lim [mm] \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm]

sonst dividiere ich durch die höchste Potenz!

        
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Do 17.11.2011
Autor: MathePower

Hallo theresetom,

> Berechne gegebenfalls den Grenzwert und untersuche auf
> Konvergenz:
>  [mm]\frac{2^{n-1}}{2^n-1}[/mm] Folge
>  Ich hab leider keine ahnung wie ich den limes der folge
> berechne?
>  lim [mm]\frac{2^{n-1}}{2^n-1}[/mm]
>  


Klammere hier im Zähler und Nenner den Faktor [mm]2^{n-1}[/mm] aus
und lass [mm]n \to \infty[/mm] laufen.


> sonst dividiere ich durch die höchste Potenz!


Gruss
MathePower

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

Wie soll ich das im Nenner machen?


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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Do 17.11.2011
Autor: Fyrus

[mm] 2^{n-1}/2^{n-1} [/mm] * [mm] [1/(2^{n}/2^{n-1}-1/2^{n-1})] [/mm]

Wenn du dir nun überlegst, wie du [mm] 2^{n} [/mm] "besser" darstellen kannst oder genauer über [mm] 2^{n-1} [/mm] ausdrücken kannst, bist du so gut wie fertig.

MFG

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

wie kommst du denn auf den Teil:
[mm] \frac{2^{n}}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}} [/mm]
??
dass soll ja mal [mm] 2^{n-1} [/mm] ergeben= [mm] 2^n [/mm] - 1
aber wie kommst du auf das? welche rechnung führst du durch?

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Do 17.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo theresetom,


> wie kommst du denn auf den Teil:
>  [mm]\frac{2^{n}}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}[/mm]??

Im Nenner steht [mm]2^n-1[/mm]

Hier multiplizieren wir mit [mm]1=\red{\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}}[/mm]:

[mm]2^n-1=\red{\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}}\cdot{}\left(2^n-1\right)=\red{2^{n-1}}\cdot{}\left(\frac{2^n-1}{\red{2^{n-1}}}\right)[/mm]

Nun elementare Bruchrechnung aus der Unterstufe:

[mm]\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}[/mm]


[mm]...=2^{n-1}\cdot{}\left(\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/mm]

Soweit der Nenner ...


>  dass soll ja mal [mm]2^{n-1}[/mm] ergeben= [mm]2^n[/mm] - 1
>  aber wie kommst du auf das? welche rechnung führst du
> durch?



Gruß

schachuzipus


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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

danke für die ausführliche antwort.
Vlt dumme frage: aber haben wir das genze nicht soeben noch komplizierter gemacht=?

[mm] \frac{2^{n-1}}{2^{n-1}} [/mm] * [mm] \frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm]

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Do 17.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> danke für die ausführliche antwort.
>  Vlt dumme frage: aber haben wir das genze nicht soeben
> noch komplizierter gemacht=?

Nur scheinbar! Vereinfache nun ...

>  
> [mm]\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}[/mm] *  [mm]\frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}}[/mm]  

Der erste Faktor ist 1, was steht im ersten Summanden im Nenner?

Danach (!) [mm]n\to\infty[/mm] gehen lassen ...

Gruß

schachuzipus


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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

=$ [mm] \frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $

SUmmand? Wo ist da eine SUmme?
*verdutzt*


meinst [mm] \frac{2^n}{2^{n-1}} [/mm]
´??

Bezug
                                                                        
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Do 17.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> =[mm] \frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}}[/mm]
>  
> SUmmand? Wo ist da eine SUmme?
>  *verdutzt*

Im Nenner des Doppelbruchs steht eine Differenz (Summe) von 2 Brüchen.

Den ersten meine ich

> meinst [mm]\frac{2^n}{2^{n-1}}[/mm]
> ´??

Genau den!

Gruß

schachuzipus


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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

dann hätte ich $ [mm] \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $

Falsch oder=?

dachte [mm] 2^{n-1}=2^n [/mm] * 1/2
1/ 1/2= 2

Aber da ist ja noch immer ein hoch n-1, wie bilde ich den grenzwert davon=?

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Do 17.11.2011
Autor: Fyrus

$ [mm] \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $ Ist richtig

Wenn du jetzt für n unendlich große zahlen einsetzt, was passiert dann mit dem ergebnis, gegen welche zahl konvergiert [mm] 1/2^{n-1}? [/mm]
Und was folgt daraus für das ergebnis?

Bezug
                                                                                                
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

lim 1/ [mm] 2^n-1 [/mm] =  1/ [mm] \infty [/mm] = 0
n -> [mm] \infty [/mm]

lim [mm] \frac{1}{\frac{1}{2}-0} [/mm] = 2
Grenzwert 2?

2.schritt: Kovergenz berechnen!
[mm] |a_{n+1}-2|=|$ \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm] $ -2 |= [mm] |\frac{2^{n-1}}{2^n-1}- \frac{2^{n+1}-2}{2^n-1}| [/mm] = | [mm] \frac{2^{n-1}-2^{n+1}-2}{2^n-1}| [/mm]
Wie mach ich weiter?




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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Do 17.11.2011
Autor: Fyrus

Der erste Schritt ist Richtig [mm] 1/2^{n-1} [/mm] ist 0 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}. [/mm]
dan steht dort 1/2-0 also 1/2.
Das ist der grenzwert der Folge du bist fertig an der stelle.

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

$ [mm] \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $

$ [mm] \frac{1}{2-0} [/mm] $ = 1/2

Konvergenz muss noch bestimmt werden also nicht fertig ;)

[mm] |a_{n+1}-1/2|=| \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm]  -1/2| = [mm] |\frac{2^{n}}{2*(2^n-1)}- \frac{ -(2^n-1)}{2*(2^n-1)}| [/mm] = [mm] |\frac{1}{2*(2^n-1)}|=|\frac{1}{2^{n+1}-2)}| [/mm]

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 Do 17.11.2011
Autor: Fyrus

In dem moment wo du den Grenzwert der Folge eindeutig als 1/2 bestimmen kannst Konvergiert die folge zwangsläufig, weil du sonst keinen Grenzwert hättest angeben können.

Wenn du die konvergenz ohne den grenzwert zu benutzen beweisen willst, sei auf Cauchy verweisen:
Cauchy-Folgen sind alle konvergent und eine Cauchy-folge ist eine folge, für die gilt:
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] N_{0} \in \IN [/mm] ,so dass gilt
[mm] |a_{m}-a_{N_{0}}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mit m [mm] >N_{0} [/mm]

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Do 17.11.2011
Autor: theresetom

Angabe: Untersuche  die Folge auf Konvergenz.
Ich kann doch das auch mit der definition der Konvergenz machen indem ich ein geeignetes [mm] N(\varepsilon) [/mm] angebe.  (ich soll ja nicht überprüfen ob es sich um eine Cauchyfolge handelt)

-> letzte Post (genaue Schritte)
[mm] |a_{n+1}-1/2|=|\frac{1}{2^{n+1}-2}| =\frac{1}{2^{n+1}-2} [/mm]
Ich hoffe ich hab mich nicht vollkommen ganz verrechnet ;(
Wie muss ich noch abschätzen

Bezug
                                                                                                                                        
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Do 17.11.2011
Autor: reverend

Hallo theresetom,

in Deinem Rechenweg war noch ein "minus" zuviel, aber das Ergebnis ist (wegen des Betrags) trotzdem richtig.

> Angabe: Untersuche  die Folge auf Konvergenz.
>  Ich kann doch das auch mit der definition der Konvergenz
> machen indem ich ein geeignetes [mm]N(\varepsilon)[/mm] angebe.  
> (ich soll ja nicht überprüfen ob es sich um eine
> Cauchyfolge handelt)

Nochmal: wenn Du einen Grenzwert bestimmen kannst, ist die Folge automatisch auch konvergent!

> -> letzte Post (genaue Schritte)
>  [mm]|a_{n+1}-1/2|=|\frac{1}{2^{n+1}-2}| =\frac{1}{2^{n+1}-2}[/mm]
>  
> Ich hoffe ich hab mich nicht vollkommen ganz verrechnet ;(
>  Wie muss ich noch abschätzen

Was willst Du denn hier noch abschätzen? Die Differenz geht doch für [mm] n\to\infty [/mm] eindeutig gegen Null!

Grüße
reverend


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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Fr 18.11.2011
Autor: theresetom

[mm] \forall \varepsilon \exists N(\varepsilon):\forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon) [/mm] : [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
so ich mache es mal weiter wie wir es sonst in die übungen gemacht haben bei tutor
[mm] \frac{1}{2^{n+1}-2} [/mm] < [mm] \frac{1}{2^{N+1}-2} [/mm] := [mm] \varepsilon [/mm]
n > N

wie bringe ich es nun noch auf
[mm] N(\varepsilon) [/mm] =
Muss ich logarithmieren?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Fr 18.11.2011
Autor: Fyrus

jo um das [mm] N(\varepsilon) [/mm] abzuschätzen musste jetzt einfach nach N umformen.

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:37 Fr 18.11.2011
Autor: theresetom

Im logarithmieren war ich nie gut!

log $ [mm] \frac{1}{2^{N+1}-2} [/mm] $= log [mm] \varepsilon [/mm]

log{1}- log [mm] {2^{N+1}-2} [/mm] =log [mm] \varepsilon [/mm]

log{1}- ({N+1})log {2-2} =log [mm] \varepsilon [/mm]

-N= (log [mm] \varepsilon [/mm] - log 1)/ log (0) +1

was mache ich log 0 ist nicht definiert!
und muss ich wenn ich mit -1 multipliziere vor jeden log ein minus geben?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Fr 18.11.2011
Autor: fred97


> [mm]\forall \varepsilon \exists N(\varepsilon):\forall[/mm] n >
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] : [mm]|a_n-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>  so ich mache es mal weiter wie wir es sonst in die
> übungen gemacht haben bei tutor
>  [mm]\frac{1}{2^{n+1}-2}[/mm] < [mm]\frac{1}{2^{N+1}-2}[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm]

Das ist doch Quatsch !!!  Du kannst doch nicht [mm] \varepsilon [/mm] einfach so setzen.

Die Prozedur ist folgende:  es wird ein  [mm] \varepsilon> [/mm] 0 vorgegeben. Dann muß man dazu ein N [mm] \in \IN [/mm] bestimmen, so dass gilt:

             [mm] |a_n-a|< \varepsilon [/mm] für n> N.

FRED

>  n > N

>
> wie bringe ich es nun noch auf
>  [mm]N(\varepsilon)[/mm] =
> Muss ich logarithmieren?


Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:15 Fr 18.11.2011
Autor: theresetom

ich hatte das früher auch so gemacht, aber die Tutorin macht es nunmal so. Und ich bin mir sicher, dass sie es richtig macht.

$ [mm] \frac{1}{2^{n+1}-2} [/mm] $ < [mm] \varepsilon [/mm]
Trotzdem muss ich es jetzt auf n bringen und das habe ich im Vorpost versucht, kannst du mir da helfen?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:41 Fr 18.11.2011
Autor: theresetom

Ich habe es schon geschafft!


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