Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Anna_ |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}-1}{\wurzel[3]{x}-1} [/mm] |
hierbei muss ich doch zunächst einen teil, der gegen [mm] \infty [/mm] geht ausklammern oder? wie bekomme ich denn die wurzeln weg? oder muss ich mit irgendwas erweitern um im zähler eine binomische formel zu bekommen? ich sehe grad nicht wie die ersten schritte aussehen müssen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}-1}{\wurzel[3]{x}-1}[/mm]
> hierbei muss ich doch zunächst einen teil, der gegen
> [mm]\infty[/mm] geht ausklammern oder? wie bekomme ich denn die
> wurzeln weg? oder muss ich mit irgendwas erweitern um im
> zähler eine binomische formel zu bekommen? ich sehe grad
> nicht wie die ersten schritte aussehen müssen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich würde hier [mm]x^{\bruch{1}{6}}=z[/mm] substituieren. (Mit x geht auch z gegen unendlich). Der Ausdruck
[mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \bruch{z^3-1}{z^2-1}[/mm] lässt sich leichter behandeln.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Anna_ |
wäre das so richtig?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3-1}{z^2-1}
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3}{z^2}
[/mm]
[mm] \gdw\limes_{x\rightarrow\infty}z
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}x^\bruch{1}{6}=\infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Anna_,
> wäre das so richtig?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3-1}{z^2-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3}{z^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw\limes_{x\rightarrow\infty}z[/mm]
>
Statt dem "x" muss bei den vorhegenden Ausdrücken ein "z" stehen.
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}x^\bruch{1}{6}=\infty[/mm]
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 30.11.2011 | | Autor: | moody |
> Hallo Anna_,
>
> > wäre das so richtig?
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3-1}{z^2-1}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3}{z^2}[/mm]
Ich habe mal eine andere Frage, ist die Schreibweise denn so korrekt? Ich meine das sind ja keine Äquivalenzumformungen?
lg moody
|
|
|
| |
|
Hallo moody,
> > Hallo Anna_,
> >
> > > wäre das so richtig?
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3-1}{z^2-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{z^3}{z^2}[/mm]
>
> Ich habe mal eine andere Frage, ist die Schreibweise denn
> so korrekt? Ich meine das sind ja keine
> Äquivalenzumformungen?
>
Die Schreibweise ist nicht korrekt.
> lg moody
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | moody |
Danke,
ich muss HM I dieses Semester nochmal schreiben und hatte es beim letzten Versuch schon nicht so mit den Formalitäten und war mir hier nicht sicher.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Anna_ |
ich habe noch eine frage zu dieser aufgabe:
[mm] \limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR
[/mm]
wie macht man das wenn da nur variablen drin sind?
|
|
|
| |
|
> ich habe noch eine frage zu dieser aufgabe:
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR[/mm]
>
> wie macht man das wenn da nur variablen drin sind?
hallo,
da hier "0/0" auftritt, erstmal de l'hopital anwenden, danach vereinfachen
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
wäre das so richtig, nach 'lhopital?
[mm] \limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR
[/mm]
[mm] \limes_{x->a}\bruch{(x^n-a^n)'}{(x^m-a^m)'}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x->a}x^n-a^n}{\limes_{x->a}x^m-a^m}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x->a}x^n-a^n}{\limes_{x->a}x^m-a^m}=\bruch{\limes_{x->a}a^n-a^n}{\limes_{x->a}a^m-a^m}=\bruch{0}{0}=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> wäre das so richtig, nach 'lhopital?
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR[/mm]
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{(x^n-a^n)'}{(x^m-a^m)'}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\limes_{x->a}x^n-a^n}{\limes_{x->a}x^m-a^m}[/mm]
Was machst Du denn da ? Leite die Funktionen [mm] x^n-a^n [/mm] und [mm] x^m-a^m [/mm] mal richtig ab.
FRED
>
> [mm]\bruch{\limes_{x->a}x^n-a^n}{\limes_{x->a}x^m-a^m}=\bruch{\limes_{x->a}a^n-a^n}{\limes_{x->a}a^m-a^m}=\bruch{0}{0}=0[/mm]
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
oh, mein fehler^^
[mm] \limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR
[/mm]
[mm] \limes_{x->a}\bruch{(x^n-a^n)'}{(x^m-a^m)'}
[/mm]
[mm] \limes_{x->a}\bruch{nx^{n-1}-na^{n-1}}{mx^{m-1}-na^{n-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}-na^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}-na^{n-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}-na^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}-na^{n-1}}=\bruch{\limes_{x->a}na^{n-1}-na^{n-1}}{\limes_{x->a}ma^{m-1}-na^{n-1}}=\bruch{0}{0}=0
[/mm]
so müsste es stimmen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> oh, mein fehler^^
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR[/mm]
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{(x^n-a^n)'}{(x^m-a^m)'}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{nx^{n-1}-na^{n-1}}{mx^{m-1}-na^{n-1}}[/mm]
Oh nein ! Du sollst nach x ableiten und nach sonst nichts !
FRED
>
> [mm]\bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}-na^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}-na^{n-1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}-na^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}-na^{n-1}}=\bruch{\limes_{x->a}na^{n-1}-na^{n-1}}{\limes_{x->a}ma^{m-1}-na^{n-1}}=\bruch{0}{0}=0[/mm]
>
> so müsste es stimmen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
wie leitet man dann nach etwas ab?
|
|
|
| |
|
Hallo Anna,
was Fred meint, ist dies:
[mm] (x^n)'=nx^{n-1}
[/mm]
Das hast Du richtig nach x abgeleitet.
Aber [mm] (a^n)'=0, [/mm] weil [mm] a^n [/mm] ja gar nicht von x abhängt und also eine Konstante ist. Dann ist die Ableitung nach x einfach Null.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
[mm] \limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR
[/mm]
[mm] \limes_{x->a}\bruch{(x^n-a^n)'}{(x^m-a^m)'}
[/mm]
[mm] \limes_{x->a}\bruch{nx^{n-1}}{mx^{m-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}}=\bruch{\limes_{x->a}na^{n-1}}{\limes_{x->a}ma^{m-1}}
[/mm]
dann müsste der grenzwert doch so sein oder:
[mm] \bruch{na^{n-1}}{ma^{m-1}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{x^n-a^n}{x^m-a^m}, m,n\in\IN, a\in\IR[/mm]
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{(x^n-a^n)'}{(x^m-a^m)'}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x->a}\bruch{nx^{n-1}}{mx^{m-1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\limes_{x->a}nx^{n-1}}{\limes_{x->a}mx^{m-1}}=\bruch{\limes_{x->a}na^{n-1}}{\limes_{x->a}ma^{m-1}}[/mm]
>
>
> dann müsste der grenzwert doch so sein oder:
>
> [mm]\bruch{na^{n-1}}{ma^{m-1}}[/mm]
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo!
Als weitere möglichkeit, könntest du die Aufgabe mit der allgemeinen binomischen Formel lösen.
Siehe hier:
Gehe zu "Verallgemeinerungen". Dann [mm] a^{n}-b^{n}=...
[/mm]
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel
gruß Valerie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
jetzt habe ich noch eine frage zu dieser aufgabe:
[mm] \limes_{x->+0} [/mm] x sin [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
kann ich das so machen:
[mm] \limes_{x->+0}x sin(\bruch{1}{x})=\limes_{x->+0}x sin(x^{-1})=\limes_{x->+0}x*\limes_{x->+0}sin(x^{-1})=0*sin(0)=0*0=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Anna_,
> jetzt habe ich noch eine frage zu dieser aufgabe:
>
> [mm]\limes_{x->+0}[/mm] x sin [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> kann ich das so machen:
>
> [mm]\limes_{x->+0}x sin(\bruch{1}{x})=\limes_{x->+0}x sin(x^{-1})=\limes_{x->+0}x*\limes_{x->+0}sin(x^{-1})\red{=0*sin(0)}=0*0=0[/mm]
Das rot Markierte ist nicht richtig!
Wenn [mm]x\to 0^+[/mm] geht, so divergiert [mm]x^{-1}[/mm] gegen [mm]+\infty[/mm]
Und der Sinus divergiert, denn er oszilliert für wachsende Argumente immer zwischen -1 und 1 hin und her.
Hier bemühe besser das Sandwichlemma und bedenke, dass der Sinus beschränkt ist, also [mm]|\sin(z)|\le 1[/mm] für alle [mm]z\in\IR[/mm]:
[mm]0\le\left|x\cdot{}\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\right|\le |x|\cdot{}1=|x|[/mm]
Was treiben linke und rechte Seite für [mm]x\to 0^+[/mm], was also deine eingequetschte Folge?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
das mit dem [mm] x\to+0 [/mm] habe ich jetzt nicht verstanden, warum geht das gegen [mm] \infty?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> das mit dem [mm]x\to+0[/mm] habe ich jetzt nicht verstanden, warum
> geht das gegen [mm]\infty?[/mm]
??
Wenn [mm]x\to 0^+[/mm], dann geht [mm]\frac{1}{x}=x^{-1}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
Nimm mal ganz kleines [mm]x>0[/mm], etwa [mm]x=\frac{1}{1000000}[/mm]
Dann ist [mm]x^{-1}=1000000[/mm] sehr groß, oder?
Je kleiner du [mm]x[/mm] machst, desto größer wird [mm]x^{-1}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
achso, also wäre das dann so:
[mm] \limes_{x->+0}0\le\limes_{x->+0}|x*sin\bruch{1}{x}|\le\limes_{x->+0}|x|
[/mm]
[mm] 0\le\limes_{x->+0}|x*sin\bruch{1}{x}|\le0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x->+0}|x*sin\bruch{1}{x}|=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> achso, also wäre das dann so:
>
>
> [mm]\limes_{x->+0}0\le\limes_{x->+0}|x*sin\bruch{1}{x}|\le\limes_{x->+0}|x|[/mm]
>
> [mm]0\le\limes_{x->+0}|x*sin\bruch{1}{x}|\le0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x->+0}|x*sin\bruch{1}{x}|=0[/mm]
Ja, und dann folgt auch: [mm] \limes_{x->+0}x*sin\bruch{1}{x}=0
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
danke für die hilfe :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 01.12.2011 | | Autor: | Anna_ |
wie muss ich denn vorgehen, wenn ich sowas habe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{|P(x)}-x), [/mm] wobei [mm] P(x)=a_0x^n+...+a_{n-1}x+a_n,a_k\in\IR [/mm] für [mm] k=0,...,n,a_0\not=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> wie muss ich denn vorgehen, wenn ich sowas habe:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{|P(x)}-x),[/mm] wobei
> [mm]P(x)=a_0x^n+...+a_{n-1}x+a_n,a_k\in\IR[/mm] für
> [mm]k=0,...,n,a_0\not=0[/mm]
Wegen [mm] x\rightarrow\infty [/mm] , können wir im Folgenden von x>1 ausgehen.
Sei M:= max [mm] \{ |a_0|,..., |a_n| \}. [/mm] Dann ist
[mm] |a_0|x^n \le [/mm] |P(x)| [mm] \le M(x^n+x^{n-1}+...+x+1) \le M(n+1)x^n
[/mm]
Jetzt n-te Wurzel ziehen und n [mm] \to \infty [/mm] gehen lassen.
FRED
|
|
|
|
