Grenzwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 02.02.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Ist die Funktion g mit [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] an der Stelle 0 differenzierbar?
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}+1, & \mbox{für } x \mbox{ <= 0} \\ -x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases} [/mm] |
Hallo,
es geht darum die Differenzierbarkeit zu überprüfen.
Dies mittels rechtsseitigem Grenzwert.
Leider verstehe ich nicht, warum dort [mm] -\infty [/mm] rauskommt...
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{-x^{2}-1}{x-0} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Wer kann mir helfen?
Vielen Dank vorab!
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Hiho,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{-x^{2}-1}{x-0}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
es gilt [mm] $\bruch{-x^{2}-1}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{-x^2 -1}{x} [/mm] = -x - [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Nun klarer?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 02.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
leider nicht wirklich :(
Ich setze für x doch null ein (Da ich an der Stelle x=0 prüfe), oder?
Dann habe ich dort doch [mm] -0-\bruch{1}{0} [/mm] zu stehen.
Aber Division durch 0 ist ja nicht definiert.
Wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Sa 02.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> leider nicht wirklich :(
>
> Ich setze für x doch null ein (Da ich an der Stelle x=0
> prüfe), oder?
Nein , Du lässt x gegen 0 gehen.
Übrigends: die vorgelegte Funktion ist in x=0 nicht stetig. Dann kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.
FRED
> Dann habe ich dort doch [mm]-0-\bruch{1}{0}[/mm] zu stehen.
> Aber Division durch 0 ist ja nicht definiert.
> Wo ist mein Denkfehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 02.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
danke für eure Antworten!
Das mit dem x gegen Null habe ich mir in der Zwischenzeit auch überlegt.
Also ist 1/x für x gegen Null immer unendlich?
Zu deinem Hinweis. Das dachte ich mir auch: Wenn eine Funktion nicht stetig ist, ist sie nicht differenzierbar oder? Sprich, das reicht ja als Nahweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für eure Antworten!
> Das mit dem x gegen Null habe ich mir in der Zwischenzeit
> auch überlegt.
> Also ist 1/x für x gegen Null immer unendlich?
nein: es gilt höchstens (sogar in [mm] $\IC$), [/mm] dass $|1/x| [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to 0\,$ [/mm]
(für $z [mm] \in \IC$ [/mm] besagt $z [mm] \to [/mm] 0$ per Definitionem eh nichts anderes, als dass $|z| [mm] \to 0\,.$) [/mm]
Nebenbei, es heißt: [mm] $|1/x|\,$ [/mm] strebt gegen (und nicht: "ist") [mm] $\infty$ [/mm] bei [mm] $x\,$ [/mm] gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
> Zu deinem Hinweis. Das dachte ich mir auch: Wenn eine
> Funktion nicht stetig ist, ist sie nicht differenzierbar
> oder? Sprich, das reicht ja als Nahweis?
Ja:
[mm] $f\,$ [/mm] ist diff'bar in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ $f\,$ [/mm] ist stetig in [mm] $x_0\,.$ [/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $f\,$ [/mm] ist NICHT STETIG in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ $f\,$ [/mm] ist nicht diff'bar in [mm] $x_0$
[/mm]
Das ist die ![[]](/images/popup.gif) Kontraposition
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$
(die letztstehende Aussage ist die Kontraposition).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Sa 02.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Wow, super!
Vielen, vielen Dank euch allen!
Jetzt hab sogar ich es verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für eure Antworten!
> Das mit dem x gegen Null habe ich mir in der Zwischenzeit
> auch überlegt.
> Also ist 1/x für x gegen Null immer unendlich?
neben der falschen Sprechweise, und nur, damit das klarer wird:
Was ist
[mm] $$\lim_{0 < x \to 0} [/mm] 1/x$$
im Vergleich zu
[mm] $$\lim_{0 > x \to 0} [/mm] 1/x$$
??
Gruß,
Marcel
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