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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
[mm] \limes_{n \to \infty}n- \wurzel{n^2-n+1} [/mm] |
Hey,
ich wollte fragen wie ich nun weiter machen soll? ich denke mir [mm] n^2 [/mm] ausklammern, bloß wenn ich [mm] n^2 [/mm] ausklammere habe ich nichts mehr zum kürzen. Oder habe ich schon bei meiner Rechnung ein paar Fehler gemacht?
[mm] \limes_{n \to \infty}n- \wurzel{n^2-n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}(n- \wurzel{n^2-n+1}) [/mm] * [mm] \bruch{n+\wurzel{n^2-n+1}}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(1-\bruch{1}{n})}{1+\wurzel{n^2-n+1}}
[/mm]
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Hi!
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
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> [mm]\limes_{n \to \infty}n- \wurzel{n^2-n+1}[/mm]
> Hey,
> ich wollte fragen wie ich nun weiter machen soll? ich
> denke mir [mm]n^2[/mm] ausklammern, bloß wenn ich [mm]n^2[/mm] ausklammere
> habe ich nichts mehr zum kürzen. Oder habe ich schon bei
> meiner Rechnung ein paar Fehler gemacht?
>
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}n- \wurzel{n^2-n+1}[/mm] = [mm]\limes_{n \to \infty}(n- \wurzel{n^2-n+1})[/mm]
> * [mm]\bruch{n+\wurzel{n^2-n+1}}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm] =
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hier hin ok. Beim nächsten Schritt klammerst du falsch aus.
Es ist nicht: [mm](a\cdot x +b)\not= a\cdot (x+b)[/mm]
sondern: [mm](a\cdot x+b)=a\cdot(x+\frac{b}{a})[/mm]
Deine Idee $n$ auszuklammern ist aber genau richtig.
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(1-\bruch{1}{n})}{1+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm]
>
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
danke, aber
$ [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm] $
was klammere ich denn hier aus habe das nicht verstanden was du meintest?
der nächste Schritt ist falsch aber die Idee richtig? :S
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Hallo Bonaqa,
> danke, aber
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm]
>
> was klammere ich denn hier aus habe das nicht verstanden
> was du meintest?
Du hast im Nenner nur aus dem ersten Summanden ausgeklammert, aber nicht aus der Wurzel!
> der nächste Schritt ist falsch aber die Idee richtig? :S
Ja!
Es ist [mm]\sqrt{n^2-n+1}=\sqrt{n^2\cdot{}\left[1-...\right]}=n\cdot{}\sqrt{1-...}[/mm]
Dann erst im Nenner aus beiden Summanden n ausklammern ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
stimmt es jetzt?
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1+\wurzel{1(1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2)}}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(1-\bruch{1}{n}}{1+\wurzel{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
soo ist das richtig?
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Hallo nochmal,
> stimmt es jetzt?
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm]
>
> [mm]= \limes_{n \to \infty} \bruch{ n (1-\bruch{1}{n})}{n(1+\wurzel{1(1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2})}}[/mm]
Jo, nun die n kürzen und [mm] $n\to\infty$ [/mm] laufen lassen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
hab es nochmal reingeschrieben wäre nett wenn du nachgucken würdest.
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Aye!
Jo, passt!
Gruß
schachuzipus
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