Grenzwert - Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | Aufgabe
Man benutze die Grenzwertsätze für konvergente Folgen, um die Existenz des Grenzwerts [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + n+1}{2n^{2} + 2n+3} [/mm] zu begründen und seinen Zahlenwert zu berechnen.
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Soah, sorry, aber ich mußte die Aufgabe nun noch mal komplett neu reinstellen, da mein Tutor mir heute gesagt hat, dass ich das so nicht machen darf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + n+1}{2n^{2} + 2n+3} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} (1+ \bruch{1}{n} + \bruch{1}{n^{2}}}{2+ \bruch{2n^{3}}{n^{2}} + \bruch{3}{n^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Erstes Problem:
Ich muss erst einmal beweisen oder zeigen, dass ich den Limes bei dem Bruch benutzen darf... Er meinte irgendwas davon, dass ich zunächst zeigen soll, dass es überhaupt einen Grenzwert gibt...
Zweites Problem:
Ich muss die einzelnen Schritte aufschreiben, also die Grenzwertsätze einzelnd benutzen, so dass man bis ins kleinste Detail sieht, was ich gemacht habe.
Beim ersten Problem habe ich keine Ahnung, wie ich das machen soll, wäre also nett, wenn mir da noch mal jemand helfen könnte.
Gruß Johie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Aufgabe
> Man benutze die Grenzwertsätze für konvergente Folgen, um
> die Existenz des Grenzwerts [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + n+1}{2n^{2} + 2n+3}[/mm]
> zu begründen und seinen Zahlenwert zu berechnen.
>
> Soah, sorry, aber ich mußte die Aufgabe nun noch mal
> komplett neu reinstellen, da mein Tutor mir heute gesagt
> hat, dass ich das so nicht machen darf:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + n+1}{2n^{2} + 2n+3}[/mm]
= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ (1+ \bruch{1}{n} + \bruch{1}{n^{2}}}{2+ \bruch{2}{n}} + \bruch{3}{n^{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Du hattest nen Fehler, den ich berichtigt hab.
1. Division von Z und N durch [mm] n^2 [/mm] ist eine Äquivalenzumformung für alle n>0,
2. Zähler und Nenner einzeln behandeln: jeder Summand hat einen GW, im Z: 1,0,0 also gilt der Satz über Summen von lim und die Summe der lim= lim der Summe.
Dasselbe mit Nenner.
dann GW des N nicht 0 Gw Z und GW N existiert und ist endlich, dann gilt GWsatz über Quotient, dh lm des Quotienten = Quotient der lim.
Das jetzt was ordentlicher aufschreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | Achso meine Rechnung ging so (habe den Fehler auch gerade gesehen):
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} (1+ \bruch{1}{n} + \bruch{1}{n^{2}})}{n^{2} (2+ \bruch{2n^{3}}{n^{2}} + \bruch{3}{n^{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Aber das erste Problem ist dann doch trotzdem noch nicht gelöst, denn die Rechung oben darf ich erst benutzen, wenn ich nachgewiesen habe, dass der Limes bei dem Term gilt, dass meinte mein Tutor...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Tequila |
hallo müsste auch so gehen wenn ich mich recht erinnere:
zeig einfach mal das die folge konvergent ist, dann hat sie auch einen grenzwert
der form halber (einzelschritte) würd ich den limes einzeln gegen jeden term laufen lassen also limes von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] usw...
ich hoffe ich konnte helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Jetzt versteh ich gar nix mehr, wie zeigt man denn, dass etwas konvergiert? Ich dachte das macht man mit dem Grenzwert? |
Gruß Johie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zum Beweis der Konv. kann man die GWsätze benutzen, wenn man irgendwann schon die Konvergenz der einzelnen Teile bewiesen hat.
hier setz ich vorraus dass ihr gezeigt habt, dass a/n gegen 0 konv wenn n gegen [mm] \infty, [/mm] ebenso [mm] a/n^2 [/mm] usw.
Dierekt beweist man an konv. gegen einen GW g, indem man zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] angibt, sodass für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt : |an-g|< [mm] \varepsilon.
[/mm]
Aber du solltest ja denk ich die GWsätze benutzen, wie, hab ich oben gepostet.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MeeMa |
Hi,
versuchs mal mit Polynomdivision:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + n+1}{2n^{2} + 2n+3}[/mm]
also:
[mm]\bruch{n^{2} + n+1}{2n^{2} + 2n+3}[/mm]
ist ja:
[mm] (n^{2} + n+1) : (2n^{2} + 2n+3) = \bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2n^{2} + 2n+3}[/mm]
So, für diesen Ausdruck gilt ja der Limes n->unendlich => Ausdruck-> [mm] $\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*0$
[/mm]
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