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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
| Aufgabe | Danke schön
Ich hätte noch die Frage, ob der Grenzwert des Limes
[mm] limes_{x\rightarrow\1} [/mm] sin(pix)ln(1-x)
Der Limes soll gegen 1 streben
"Habe versucht es richtig zu schreiben. Hat nicht geklappt. Bei der Vorschau hat es immer bei lim aufgehört. Deswegen so"
mit l'Hopital berechnet wird und ob ich es dann soweit richtig gemacht habe:
[mm] (pi)cos(pix)*ln(1-x)+sin(pix)*\bruch{1}{1-x}
[/mm]
dann kommt aber für x=1 Null raus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo André,
> Danke schön
>
> Ich hätte noch die Frage, ob der Grenzwert des Limes
>
> [mm]limes_{x\rightarrow\1}[/mm] sin(pix)ln(1-x)
>
> Der Limes soll gegen 1 streben
>
> "Habe versucht es richtig zu schreiben. Hat nicht geklappt.
> Bei der Vorschau hat es immer bei lim aufgehört. Deswegen
> so"
Du kannst es so eintippen: \limes\limits_{x\to 1}\sin(\pi x)\cdot{}\ln(1-x), das gibt [mm] $\limes\limits_{x\to 1}\sin(\pi x)\cdot{}\ln(1-x)$
[/mm]
>
> mit l'Hopital berechnet wird und ob ich es dann soweit
> richtig gemacht habe:
Bevor du de l'Hôpital anwenden kannst, solltest du prüfen, ob die Voraussetzungen dafür erfüllt sind ...
Hier hast du keinen Quotienten und außerdem den Fall [mm] $0\cdot{}(-\infty)$ [/mm] bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 1$
Wie in dem anderen post, schreibe es zunächst um in einen Quotienten:
[mm] $\sin(\pi x)\ln(1-x)=\frac{\sin(\pi x)}{\frac{1}{\ln(1-x)}}$
[/mm]
Hier liegt nun beim Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 1$ der Fall [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] vor - prima, nun kannst du de l'Hôpital anwenden ...
(Zähler und Nenner getrennt ableiten usw ...)
>
> [mm](pi)cos(pix)*ln(1-x)+sin(pix)*\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> dann kommt aber für x=1 Null raus
Das stimmt zwar letztendlich, die Rechnung ist aber falsch!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Ich habe jetzt l'Hopital angewendet, aber irgendwie drehe ich mich damti immer im Kreis. Wie oft muss ich bei dieser Aufgabe l'Hopital anwenden und kommt da wirklich 0 als Grenzwert raus? Ofer hat die Aufgabe keine Lösung?
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Hallo nochmal,
einmalige Anwendung von de l'Hôpital reicht aus.
Wenn du's nicht hinbekommst, poste deine Rechnung, dann sehen wir weiter ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Also ich habe folgendes gemacht:
sin(pix)*ln(1-x) abgeleitet:
ergibt:
(pi)cos(pix)*ln(1-x) + [mm] sin(pix)*\bruch{-1}{(1-x)}
[/mm]
bis auf -pi kommt doch da überall 0 raus, oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe folgendes gemacht:
>
> sin(pix)*ln(1-x) abgeleitet:
Hallo,
so funktioniert L'Hospital aber nicht.
Du scheinst mir heute etwas beratungsresistent zu sein. Schachuzipus hatte dir geschrieben, dass du als den Term in der Form
[mm] \bruch{sin(\pi*x)}{\bruch{1}{ln(1-x)}} [/mm] schreiben sollst.
Die Regel von L'Hospital besteht nun darin, [mm] sin(\pi*x) [/mm] und [mm] \bruch{1}{ln(1-x)} [/mm] jeweils separat abzuleiten und dann den Quotienten der beiden Ableitungen zu betrachten. Die Produktregel ist hier fehl am Platz.
Gruß Abakus
>
> ergibt:
>
> (pi)cos(pix)*ln(1-x) + [mm]sin(pix)*\bruch{-1}{(1-x)}[/mm]
>
> bis auf -pi kommt doch da überall 0 raus, oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Sag bitte, dass das nun richtig ist:
[mm] \bruch{picos(pix)}{x-1} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
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Nein, das stimmt nicht.
Wie könnte es auch, wenn schon lange geklärt ist, dass der GW, den du suchst, 0 ist?
Du solltest dir echt die Antworten, die du bekommst, sorgfältiger durchlesen und dir mit Bedacht zu Gemüte führen.
So langsam verliere (ich zumindest) die Lust, dir überhaupt noch irgendeinen Tipp zu geben.
Man muss alles dutzendfach wiederholen, weil du zu ungenau bist.
Nun, nochmal:
Die Ableitung des Zählers, also von [mm] $\sin(\pi [/mm] x)$, hast du richtig gemacht, das ist [mm] $\pi\cos(\pi [/mm] x)$
Aber was du mit dem Nenner gemacht hast, ist mir schleierhaft.
Es ist [mm] $\frac{1}{\ln(1-x)}$ [/mm] abzuleiten.
Mache das stumpf nach der Quotientenregel (und Kettenregel), wenn du unsicher bist
Das gibt: [mm] $\frac{0\cdot{}\ln(1-x)-1\cdot{}\frac{1}{1-x}\cdot{}(-1)}{\ln^2(1-x)}=\frac{1}{(1-x)\cdot{}\ln^2(1-x)}$
[/mm]
Und das bastel nun mal mit Bedacht und nicht in 30 Sekunden zusammen, vereinfache und mache den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 1$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Also ich habe jetzt folgendes gemacht:
(sin(pix))' = (pi)cos(pix)
[mm] (\bruch{1}{ln(1-x)})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)ln^2(1-x)}
[/mm]
zusammengeführt und l'Hobital angewendet ergibt:
[mm] \bruch{(pi)cos(pix)}{\bruch{1}{(1-x)ln^2(1-x)}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
ergibt:
[mm] \bruch{-pi}{\bruch{1}{0}}
[/mm]
=0
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Hallo, im Prinzip hast du die Aufgabe gelöst, bei dir steht aber eine Division durch Null, schreibe besser
[mm] \limes_{x\rightarrow1}[\pi*cos(\pi*x)*(1-x)*ln^{2}(1-x)]=0
[/mm]
noch ein Hinweis: [mm] ln^{2}(1-x) [/mm] geht für x gegen 1 gegen [mm] \infty, [/mm] ich denke mal du hast die 1 stehen,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Nein ich habe da stehen:
[mm] \bruch{(pi)cos(pix)}{\bruch{1}{(1-x)ln^2(1-x)}}
[/mm]
für x=1
ergibt sich [mm] \bruch{-pi}{\bruch{1}{0}} [/mm] wobei
[mm] \bruch{1}{0}=\infty
[/mm]
wodurch
[mm] \bruch{-pi}{\infty}=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Stimmt das denn jetzt so?
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Hallo
Du hast am Schluss stehen:
[mm] \bruch{-\pi}{\bruch{1}{0}} \Rightarrow \bruch{-\pi*0}{1} [/mm] = 0
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
ja, genau
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Hallo nochmal,
ich habe dich leider auf eine falsche Fährte gelockt, weil ich in meiner Rechnung einen gravierenden Fehler bzw. Überseher hatte:
Wenn man die Funktion nach meinem Vorschlag als [mm] $\frac{\sin(\pi x)}{\frac{1}{\ln(1-x)}}$ [/mm] schreibt, dreht man sich mit de l'Hôpital nur im Kreise.
Im letzten Ausdruck, also bei [mm] $\frac{\pi\cos(\pi x)}{\frac{1}{(1-x)\ln^2(1-x)}}$ [/mm] oder umgeschrieben [mm] $\pi\cos(\pi x)(1-x)\ln^2(1-x)$ [/mm] steht für [mm] $x\to [/mm] 1$ wieder ein unbestimmter Ausdruck [mm] $0\cdot{}\infty$
[/mm]
Das hatte ich übersehen ...
Leider wird man auch bei wiederholter Anwendung von de l'Hôpital (nach vorherigem Umschreiben) den Ausdruck [mm] $(1-x)\ln^k(1-x)$ [/mm] nicht recht los, der für den unbestimmten Ausdruck sorgt.
Abhilfe schafft (wenn ich mich jetzt nicht schon wieder verrechnet habe), wenn man den Ausgangsterm "andersherum" zum Quotienten macht, also schreibt:
[mm] $\sin(\pi x)\ln(1-x)=\frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{\sin(\pi x)}}$
[/mm]
Das strebt für [mm] $x\to [/mm] 1$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\infty}{\infty}$, [/mm] also kann man wieder de l'Hôpital anwenden...
Wenn man das 2mal tut, kommt man schließlich beim Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 1$ auf [mm] $\frac{0}{-\pi}=0$
[/mm]
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") for the inconvenience
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 So 19.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
> Nein ich habe da stehen:
>
> [mm]\bruch{(pi)cos(pix)}{\bruch{1}{(1-x)ln^2(1-x)}}[/mm]
>
> für x=1
>
> ergibt sich [mm]\bruch{-pi}{\bruch{1}{0}}[/mm] wobei
>
> [mm]\bruch{1}{0}=\infty[/mm]
>
> wodurch
>
> [mm]\bruch{-pi}{\infty}=0[/mm]
Aufpassen...
[mm] \bruch{1}{0} \not= \infty, [/mm] denn, das würde bedeuten, dass [mm] \infty*0 [/mm] = 1, und das ist nicht der Fall.
Falls das überhaupt so geschrieben werden darf, denn, streng genommen, hättest du dann bei Multiplikation mit 0 auf beiden seiten die Gleichung:
[mm] \bruch{1*0}{0} [/mm] = [mm] \infty*0 [/mm]
Und [mm] \bruch{1*0}{0} [/mm] kann geschrieben werden als [mm] 1*\bruch{0}{0}. [/mm] Und was ist [mm] \bruch{0}{0}? [/mm]
Nun, nimm eine Variable x und setze die Gleichung: x*0 = 0. Nach x aufgelöst hast du dann x = [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Also ist [mm] \bruch{0}{0} [/mm] nicht mal definiert.. wodurch die Division durch 0 jetzt noch stärker zu vermeiden ist... :)
Division durch null ist wirklich das, was du NIE machen darfst..
Grüsse, Amaro
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