www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und GrenzwerteGrenzwert & Epsilon-Umgebung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwert & Epsilon-Umgebung
Grenzwert & Epsilon-Umgebung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Mo 24.08.2009
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert $\ a $ (falls er existiert) der angegebenen Zahlenfolge $\ [mm] \{a_n\} [/mm] $.

Bestimmen Sie $\ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ derart, dass für alle $\ n > \ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ 18.6 gilt!

18.6 $\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] $


$\ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten, beim Bestimmen des Grenzwertes.

Mein Ansatz:

$\ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $

$ = [mm] \frac{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n)(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)}{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)} [/mm] $ Umformung mittels 3. bin. Formel um einen unbestimmten Ausdruck wie $\ [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] $ zu meiden.

$ = [mm] \frac{n^2(1+\frac{1}{n})-n^2}{n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n} [/mm] $

nach diesem Schritt kürzte ich Zähler und Nenner mit der im Nenner am größten auftretenden Potenz von [mm] $\n [/mm] $, also jeweils $\ n $ ausgeklammert und weggekürzt:

$ = [mm] \frac{n(1+\frac{1}{n})-n}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1} [/mm] $

nun im Zähler erneut n ausgeklammert...

$ = [mm] \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1} [/mm] $

wenn ich nun den Grenzwert $\ n [mm] \to \infty [/mm] $ betrachte

$\ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1} [/mm] $

konvergiert $\ n $ im Zähler gegen $\ [mm] \infty [/mm] $, die Klammer im Zähler gegen $\ 0$ und der Nenner konvergiert gegen $\ 2 $.

$\ [mm] \frac{\infty*0}{2} [/mm] $

hier steh ich nun also.

Die Lösung stimmt nur leider nicht. Der Grenzwert müsste $\ [mm] \frac{1}{2} [/mm] $ lauten.

Würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen könnte.

Grüße
ChopSuey

        
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Mo 24.08.2009
Autor: abakus


> Berechnen Sie den Grenzwert [mm]\ a[/mm] (falls er existiert) der
> angegebenen Zahlenfolge [mm]\ \{a_n\} [/mm].
>
> Bestimmen Sie [mm]\ n_0(\epsilon)[/mm] derart, dass für alle [mm]\ n > \ n_0(\epsilon)[/mm]
> 18.6 gilt!
>  
> 18.6 [mm]\ | a_n - a | < \epsilon[/mm]
>  
>
> [mm]\ \{a_n\} = n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe Schwierigkeiten, beim Bestimmen des Grenzwertes.
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]\ \{a_n\} = n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n[/mm]
>  
> [mm]= \frac{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n)(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)}{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)}[/mm]
> Umformung mittels 3. bin. Formel um einen unbestimmten
> Ausdruck wie [mm]\ \frac{\infty}{\infty}[/mm] zu meiden.
>  
> [mm]= \frac{n^2(1+\frac{1}{n})-n^2}{n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n}[/mm]
>  
> nach diesem Schritt kürzte ich Zähler und Nenner mit der
> im Nenner am größten auftretenden Potenz von [mm]\n [/mm], also
> jeweils [mm]\ n[/mm] ausgeklammert und weggekürzt:
>  
> [mm]= \frac{n(1+\frac{1}{n})-n}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
>
> nun im Zähler erneut n ausgeklammert...
>  
> [mm]= \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]

Hallo,
es gilt 1-1=0, deshalb ist [mm] n[(1+\frac{1}{n})-1]=n*\frac{1}{n}=1 [/mm]
Gruß Abakus

>
> wenn ich nun den Grenzwert [mm]\ n \to \infty[/mm] betrachte
>  
> [mm]\ \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
>  
> konvergiert [mm]\ n[/mm] im Zähler gegen [mm]\ \infty [/mm], die Klammer im
> Zähler gegen [mm]\ 0[/mm] und der Nenner konvergiert gegen [mm]\ 2 [/mm].
>  
> [mm]\ \frac{\infty*0}{2}[/mm]
>  
> hier steh ich nun also.
>  
> Die Lösung stimmt nur leider nicht. Der Grenzwert müsste
> [mm]\ \frac{1}{2}[/mm] lauten.
>  
> Würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen
> könnte.
>  
> Grüße
>  ChopSuey


Bezug
                
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Mo 24.08.2009
Autor: ChopSuey

Das hab ich doch Glatt übersehen :-)

Danke!

Gruß
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Mo 24.08.2009
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Bestimmen Sie $ \ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ derart, dass für alle $ \ n > \ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ 18.6 gilt!

18.6 $ \ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] $


$ \ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $

Hallo erneut,

hier habe ich ebenfalls Schwierigkeiten.

Mein Ansatz:

$\ [mm] \{a_n\} [/mm] < [mm] \frac{1}{2} [/mm] $

$\ [mm] n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] < [mm] \frac{1}{2} [/mm] $


$\ | [mm] n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] | = [mm] \frac{1}{2} -n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $

Hier steck ich eigentlich schon fest. Hab jede Umformung, die mir in den Sinn kam ausprobiert, doch es wurde immer nur komplizierter.

Was muss ich denn tun?
Grüße
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 24.08.2009
Autor: Loddar

Hallo ChopSuey!



> [mm]\ | n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n - \frac{1}{2} | [/mm]

Wende dieselbe Erweiterung zur 3. binomischen Formel an wie oben und bringe anschließend auf einen Bruchstrich.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mo 24.08.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Loddar,

danke für die schnelle Antwort.
Ich hab das mal folgendermaßen versucht:

$\  [mm] \frac{1}{2} -n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1) [/mm] * [mm] \frac{\frac{1}{2} +n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{2} +n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)}$ [/mm]

$\  [mm] \frac{\frac{1}{4} -n^2(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)^2} {\frac{1}{2} +n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)}$ [/mm]

Ich seh nur leider noch nicht, wo mich das hinführt.
Das Ergebnis soll $\ n > [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ sein, oder?

So, dass ich ein $\ [mm] n_0 [/mm] $ bestimme, von dem ab jedes $\ n > [mm] n_0$ [/mm] in der $\ [mm] \epsilon [/mm] - $Umgebung liegt, seh ich das richtig?


Würde mich über weitere Tips freuen,

grüße
ChopSuey



Bezug
                                
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: wie oben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Mo 24.08.2009
Autor: Loddar

Hallo ChopSuey!


Hm, ein Missverständnis: erweitere nur den Ausdruck [mm] $n*\left(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1\right)$ [/mm] innerhalb den Betragsstrichen.


Gruß
oddar


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Mo 24.08.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Loddar,

hab's eben probiert und bin dem Ergebnis schon wesentlich näher gekommen, danke.

Ich hätte allerdings nicht ahnen können, dass ich mittels Umformung so viel weiter komme. Bei der Grenzwertberechnung mach ich das eben aus Erfahrung so.

Aber beim ermitteln von Werten in der Form $\ n > [mm] n_0(\epsilon)$ [/mm] tu ich mir noch ziemlich schwer.
Gibt es hierfür allgemeine Tips & Regeln oder gewisse Umformungen, die es immer zu berücksichtigen gilt?

Falls jemand Links oder allg. Hinweise dazu hat, würde ich mich sehr freuen.

Grüße
ChopSuey

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Mo 24.08.2009
Autor: Loddar

Hallo ChopSuey!


Oft helfen genau dieselben Umformungen weiter wie bei der ursprünglichen Grenzwertermittlung.

Zudem muss man auch öfters abschätzen, d.h. man vergleicht mit einem größeren aber einfacheren Term.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert & Epsilon-Umgebung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Mo 24.08.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Loddar,

vielen Dank für Deine Hilfe!

Grüße
ChopSuey

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]