Grenzwert Epsilon < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 11.01.2010 | | Autor: | krauti |
| Aufgabe | Grenzwertvermutung aufstellen und überprüfen mit Definition
an:= 2*n - 1 / (n+1) |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einem Schritt bei der Lösung der Aufgabe.
Meine Vermutung ist g=2 und dies will ich nun mit der Epsilongleichung überprüfen.
| 2n-1/ (n+1) -2 | < epsilon
= | -3 / (n+1) | < epsilon
Dann muss diese Ungleichung nach n aufgelöst werden.
Nun meine Frage: Im Buch lösen sie jetzt die Betragszeichen auf und aus dem Minus wird ein Plus. Warum kann es nicht -3 sein und muss 3 sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo krauti!
> Meine Vermutung ist g=2 und dies will ich nun mit der
> Epsilongleichung überprüfen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> | 2n-1/ (n+1) -2 | < epsilon
>
> = | -3 / (n+1) | < epsilon
>
> Dann muss diese Ungleichung nach n aufgelöst werden.
>
> Nun meine Frage: Im Buch lösen sie jetzt die
> Betragszeichen auf und aus dem Minus wird ein Plus. Warum
> kann es nicht -3 sein und muss 3 sein?
Wegen der Betragsstriche. Die Betragsfunktion erzeugt immer nur positive Werte (bzw. mindestens 0).
Es gilt:
[mm] $$\left|\bruch{-3}{n+1}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{|-3|}{|n+1|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{n+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$$
[/mm]
Im Zähler gilt $|-3| \ = \ 3$ .
Im Nenner darf man die Betragsstriche weglassen, da $n+1_$ für [mm] $n\in\IN$ [/mm] stets positiv ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 11.01.2010 | | Autor: | krauti |
Bedeutet dies dann, dass bei allen solcher Aufgaben mit einer Epsilongleichung ein Minus im Nenner oder Zähler immer in ein Plus umgewandelt wird, egal an welcher Stelle es im Zähler oder Nenner steht?
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Hallo krauti,
> Bedeutet dies dann, dass bei allen solcher Aufgaben mit
> einer Epsilongleichung ein Minus im Nenner oder Zähler
> immer in ein Plus umgewandelt wird, egal an welcher Stelle
> es im Zähler oder Nenner steht?
Nein, ganz und gar nicht, das hängt vom Ausdruck ab.
Du musst dich an die Definition des Betrages halten
[mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$
[/mm]
Außerdem hat Loddar dir die Regel für Brüche hingeschrieben [mm] $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$, [/mm] du kannst also die Beträge von Zähler und Nenner getrennt betrachten:
Hier hast du [mm] $\left|\frac{-3}{n+1}\right|=\frac{|-3|}{|n+1|}$ [/mm] nach dieser Regel - das hatte Loddar schon aufgeschrieben:
Nun ist $-3<0$, also $|-3|=-(-3)=+3=3$ (siehe die Definition von $|z|$ oben mit dem Spezialfall $z=-3$)
Außerdem ist (siehe Loddars Antwort) $n+1>0$ für alle natürlichen Zahlen $n$
Also ist (wieder nach Definition des Betrages) $|n+1|=n+1$
Insgesamt also [mm] $\left|\frac{-3}{n+1}\right|=\frac{3}{n+1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 11.01.2010 | | Autor: | krauti |
O.k. Also muss ich immer den Nenner und den Zähler einzeln betrachten und schauen, ob er z.B. kleiner als 0 ist. Und wenn ja, dann setze ich vor den Ausdruck ein Minus -(Ausdruck).
Und wenn ich jetzt den Ausdruck |x-3| habe, muss ich dann beide Fälle durchrechnen, weil ich ja nicht weiß, ob es Minus oder Plus ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo krauti!
So stimmt's ...
Gruß
Loddar
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