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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
| Aufgabe | [mm] an=(1+\bruch{1}{n})^{2*n+3}
[/mm]
Bestimmen Sie Konvergenz und Grenzwert |
Hallo,
ist bei der Aufgabe ein Lösung so möglich?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{2*n+3}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{2*n}*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}*(1+\bruch{1}{n})^{n}*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
=e*e*1*1*1
[mm] =e^2
[/mm]
konvergiert gegen [mm] e^2
[/mm]
Oder übersehe ich da etwas?
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Hallo svensven!
Die Bestimmung des Grenzwertes ist so völlig okay und richtig!
Dieser Weg setzt allerdings die Existenz der Grenzwerte für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ e$ bzw. [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ 1$ voraus.
Da ist mir jetzt nicht klar, ob Du das voraussetzen darfst oder auch die Konvergenz bzw. diese Grenzwerte auch separat nachweisen sollst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
Gut der Grenzwert von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)=1
[/mm]
ist ja leicht nachgewiesen, nur wie mache ich das mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=e [/mm] ?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:57 Di 16.05.2006 | | Autor: | Nadine5 |
Hallo,
Hier mein Lösungsvorschlag:
Wenn Du den Grenzwert von [mm] (1+(1/n))^n [/mm] ermitteln willst, dann schau am besten ins Tafelwerk. Dort steht:
[mm] a^c [/mm] = e^(c*ln a)
Jetzt einsetzen:
[mm] 1+(1/n))^n [/mm] = e^[n*ln(1+(1/n))]
Geht jetzt das n in der Klammer nach "ln" gegen unendlich steht rechts:
e^[n*ln(1))]
ln1= 0 (laut Tafelwerk)
D.h. jetzt steht da:
e^[n*0]
also
[mm] e^0
[/mm]
und das ist gleich 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Di 16.05.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hallo,
kurze Frage - sollte da nicht e herauskommen und nicht 1?
Gruß
Del
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
Ich hab das nochmal nachgerechnet, aber warum kommt dann für
[mm] a^c=(1+\bruch{1}{n})^{2n+3}
[/mm]
auch 1 raus?
In der ersten Antwort im Thread wurde doch [mm] e^2 [/mm] als richtig angegeben.
[mm] a^c=e^{c*ln(a)}
[/mm]
[mm] =e^{2*n+3}*ln(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
=e^(2*n+3)*ln(1)
[mm] =e^0
[/mm]
=1
Was ist denn nun richtig?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo svensven!
Der Grenzwert mit $e^2$ ist auch richtig. Du begehst in der Grenzwertbetrachtung den Fehler, den mathemaduenn soben schon angedeutet hat:
Der Ausdruck / Grenzwert $(2n+3)*\ln\left(1+\bruch{1}{n}\right)$ ist ein unbestimmter Ausdruck mit $\infty*0$ . Hier kann der Grenzwert nicht im Vorfeld abgeschätzt werden.
Zerlege den Ausdruck wie folgt:
$(2n+3)*\ln\left(1+\bruch{1}{n}\right) \ = \ (2n+3)*\ln\left(\bruch{n+1}{n}\right) \ = \ (2n+3)*[\ln(n+1)-\ln(n)] \ = \ 2n* [\ln(n+1)-\ln(n)] +3*[\ln(n+1)-\ln(n)] \ = \ 2*\bruch{\ln(n+1)-\ln(n)}{\bruch{1}{n}}+3*\ln\left(1+\bruch{1}{n}\right)$
Und nun darfst Du beide Terme getrennt betrachten. Der 2. Term ist ja schnell geklärt.
Für den 1. Term ist nun der  Grenzwertsatz nach de l'Hospital anzuwenden, da hier der Fall $\bruch{0}{0}$ vorliegt.
Damit solltest Du dann für den ersten Term als Grnzwert $2_$ erhalten und für den zweiten $0_$ .
Damit wird dann $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \ = \ ... \ = \ e^{2+0} \ = \ e^2}$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Nadine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> e^[n*ln(1))]
>
> ln1= 0 (laut Tafelwerk)
>
> D.h. jetzt steht da:
> e^[n*0]
Das mit dem Auflösen geht nur wenn die Grenswerte existieren. Hier stünde aber jetzt [mm]\infty * 0[/mm] (wg. [mm] \lim_{n \to \infty}n=\infty [/mm] ) Das kann alles sein.
viele Grüße
mathemaduenn
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