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Forum "Funktionalanalysis" - Grenzwert L’Hospital
Grenzwert L’Hospital < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert L’Hospital: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Aufgabe
Berechnen Sie die Grenzwerte mit Hilfe der Regel von de  L’Hospital.

d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} $(1+sin(x))^{1/x}$ [/mm]

Hallo,

ich würde gerne wissen, wie man die Regel von de L'Hospital auf dieses Beispiel anwendet. Bei Brüchen ist mir die Vorgehensweise klar, wie gehe ich hier vor?

Danke !

        
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mi 18.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Ciotic,

> Berechnen Sie die Grenzwerte mit Hilfe der Regel von de  
> L’Hospital.
>  
> d) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]  [mm](1+sin(x))^{1/x}[/mm]
>  Hallo,
>  


Schreibe zunächst den zu untersuchenden Ausdruck um:

[mm](1+sin(x))^{1/x}=e^{\ln\left(1+\sin\left(x\right)\right)*\bruch{1}{x}[/mm]

Damit ist

[mm]\limes_{x \to 0}{\bruch{\ln\left( \ 1+\sin\left(x\right) \ \right)}{x}}[/mm]

zu bilden.


> ich würde gerne wissen, wie man die Regel von de
> L'Hospital auf dieses Beispiel anwendet. Bei Brüchen ist
> mir die Vorgehensweise klar, wie gehe ich hier vor?
>  
> Danke !


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Danke, das hat mir sehr geholfen.

Dann komme ich auf :

[mm] $\bruch [/mm] {cos(x)}{1+sin(x)} = [mm] \bruch [/mm] {1}{1}$

Nun sollte aber als Lösung e rauskommen, wie komme ich darauf?



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Bezug
Grenzwert L’Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 18.01.2012
Autor: ullim

Hi,

Du hast ja den Grenzwert des Exponenten gebildet und hast 1 heraus bekommen. Also gilt für den Grenzwert des ursprünglichen Ausdrucks das e herauskommt.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Alles klar, vielen Dank ! Dann noch eine zweite Teilaufgabe:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} $(x^3+2x)^\bruch [/mm] {1}{x}$



Habe dort auch alles umgeformt und bin schlussendlich auf $ [mm] \bruch {6x}{3x^2+2} [/mm] $->$ [mm] \bruch [/mm] {6}{6x}$ gekommen. Nach der Grafik der Funktion sollte allerdings 1 die Lösung sein. Wer kann helfen ?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mi 18.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Ciotic,

> Alles klar, vielen Dank ! Dann noch eine zweite
> Teilaufgabe:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]  [mm](x^3+2x)^\bruch {1}{x}[/mm]
>  
>
>
> Habe dort auch alles umgeformt und bin schlussendlich auf
> [mm]\bruch {6x}{3x^2+2} [/mm]->[mm] \bruch {6}{6x}[/mm] gekommen. Nach der
> Grafik der Funktion sollte allerdings 1 die Lösung sein.
> Wer kann helfen ?


Bedenke, daß der Grenzwert

[mm]e^{\limes_{x \to \infty}\bruch{6}{6x}}[/mm]

ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Hmm, ich stehe auf dem Schlauch.

Irgendwie irritiert mich das x noch. Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären? Danke !

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:10 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Sorry, hatte versehentlich eine Mitteilung gemacht. Hier nochmal:

Hmm, ich stehe auf dem Schlauch.

Irgendwie irritiert mich das x noch. Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären? Danke !

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Mi 18.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Ciotic,

> Sorry, hatte versehentlich eine Mitteilung gemacht. Hier
> nochmal:
>  
> Hmm, ich stehe auf dem Schlauch.
>
> Irgendwie irritiert mich das x noch. Kannst du mir das
> vielleicht nochmal erklären? Danke !


Siehe hier


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 18.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Ciotic,

> Hmm, ich stehe auf dem Schlauch.
>
> Irgendwie irritiert mich das x noch. Kannst du mir das
> vielleicht nochmal erklären? Danke !


Es ist doch

[mm]\limes_{x\to \infty}{ \bruch{6}{6x}}=0[/mm]

Dann ist [mm]e^{0}=1=\limes_{x \to \infty}e^{\bruch{\ln\left(x^{3}+2*x\right)}{x}}=\limes_{x \to \infty} {(x^3+2x)^\bruch {1}{x} }[/mm]

Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert L’Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mi 18.01.2012
Autor: Ciotic

Danke, der Groschen ist jetzt gefallen.

Du bist richtig gut ;)

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