Grenzwert Quotientenfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch
[mm] a_{n+3}=3a_{n+2}+2a_{n+1}-a_{n}
[/mm]
mit
[mm] a_{3}=1, a_{2}=2 [/mm] und [mm] a_{1}=0
[/mm]
ist eine rekursiv definierte Folge gegeben. Berechne den Grenzwert der Quotientenfolge
[mm] q_{n}=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
mit Hilfe des Newton Verfahrens. |
Irgendwie habe ich überhaupt keinen Ansatz und verstehe die Aufgabe auch gar nicht genau. Was genau ist hier mit der rekursiv definierten Folge gemeint. Um Hilfe bin ich sehr dankbar.
Ich weiß, dass das Newton Verfahren wie folgt aussieht:
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
[/mm]
aber irgendwie hilft mir das nicht weiter.
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Aus der Definition von [mm] q_n [/mm] folgt zunächst:
[mm] a_{n+1}=q_n*a_n [/mm] und damit rekursiv
[mm] a_{n+2}=q_{n+1}*a_{n+1}=q_{n+1}*q_n*a_n [/mm] sowie
[mm] a_{n+3}=q_{n+2}*a_{n+2}=q_{n+2}*q_{n+1}*q_n*a_n.
[/mm]
Nimmt man nun an, dass [mm] q_n [/mm] konvergiert (nicht notwendig aber [mm] a_n!), [/mm] so gilt für große n: [mm] q_{n+2}=q_{n+1}=q_n=q [/mm] und damit
[mm] a_{n+1}=q*a_n
[/mm]
[mm] a_{n+2}=q^2*a_n
[/mm]
[mm] a_{n+3}=q^3*a_n.
[/mm]
Setzt man dies nun in die Rekursionsgleichung ein, ergibt sich:
[mm] a_{n+3}=3*a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n \Rightarrow
[/mm]
[mm] q^3*a_n=3*q^2*a_n+2*q*a_n-a_n [/mm] | [mm] :a_n \Rightarrow
[/mm]
[mm] q^3=3*q^2+2*q-1 \Rightarrow
[/mm]
[mm] q^3-3*q^2-2*q+1 [/mm] =0
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen und lässt sich mit dem Newton-Verfahren lösen. Man erhält 3 Werte für q, ca. -0,8 sowie 0,3 und 3,5. Welcher der Werte tatsächlich angenommen wird, hängt von weiteren Betrachtungen ab (z.B. Startwert und Ermitteln einiger Folgeglieder).
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