Grenzwert Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Gegeben ist die Reihe
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{n}}
[/mm]
dann ist der
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm] = 0
Da der cos ständig zwischen +1 und -1 schwankt und ich doch die einzelnen Partialsummen von einander abziehen muss, eben wegen diesem Schwanken. So richtig?
|
|
| |
|
Moin,
> Gegeben ist die Reihe
>
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{n}}[/mm]
>
> dann ist der
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} s_{n}[/mm] = 0
Was soll der Limes davor? Der Ausdruck [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{n}} [/mm] ist bereits eine Reihe, wo bis ins unendliche aufsummiert wird.
Entweder du schreibst die Reihe direkt hin, oder du definierst die Partialsummen als
[mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{cos(k)}{(k+1)^{k}}
[/mm]
Dann darfst du den Grenzwert schreiben. Wie in dem anderen Thread würde gelten $ [mm] \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^\infty a_k [/mm] $ mit [mm] a_k=\bruch{cos(k)}{(k+1)^{k}}.
[/mm]
Die Existenz des Grenzwertes muss aber nachgewiesen werden.
>
> Da der cos ständig zwischen +1 und -1 schwankt und ich
> doch die einzelnen Partialsummen von einander abziehen
> muss, eben wegen diesem Schwanken. So richtig?
Diese Argumentation ist nicht schlüssig. Warum sollten sich die Summanden so gut aufheben, dass die Reihe den Wert 0 hat? Was ist die genaue Aufgabenstellung - sollst du den Wert der Reihe ausrechnen, oder nur Konvergenz zeigen?
Für (absolute) Konvergenz findet man eine konvergente Majorante:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left|\bruch{cos(k)}{(k+1)^{k}}\right|=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{|cos(k)|}{(k+1)^{k}}\leq \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(k+1)^{k}}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Oh, ich hab nen Fehler gemacht. Also ich muss die Reihe auf Konvergenz untersuchen. Ich hab das aber noch nie gemacht und kann ich wenn es geht, die eine mal vorgerechnet bekommen, damit ich das auch verstehe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
jetzt hab ich noch nen Fehler gemacht und der ist bissl größer. Naja hilft nix
Also die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{3}}
[/mm]
soll auf Konvergenz untersucht werden und ich würde jetzt mit dem Majorantenkriterium arbeiten. Eine konvergente Majorante wäre dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{3}}
[/mm]
und wie mache ich jetzt weiter? Das ist ja eine konvergente Majorante.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> jetzt hab ich noch nen Fehler gemacht und der ist bissl
> größer. Naja hilft nix
> Also die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{3}}[/mm]
>
> soll auf Konvergenz untersucht werden und ich würde jetzt
> mit dem Majorantenkriterium arbeiten. Eine konvergente
> Majorante wäre dann
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{3}}[/mm]
Jo,
[mm] \left|\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{3}}\right|\leq\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{3}} [/mm] für [mm] n\geq1
[/mm]
Damit ist schon gezeigt, dass die Reihe ebenfalls absolut konvergiert. Ein paar Zwischenschritte tun der Abschätzung dann noch ganz gut (wurden ja in zahlreicher analoger Form schon gegeben).
LG
|
|
|
| |
|
Hallo al3pou,
welche Kriterien stehen Euch denn zur Verfügung? Mit der folgenden Abschätzung geht es ganz leicht, aber es gibt auch andere Wege:
[mm] \summe^{\infty}\bruch{-1}{(n+1)^n}\le \summe^{\infty}\bruch{-|\cos{n}|}{(n+1)^n}\le \summe^{\infty}\bruch{\cos{n}}{(n+1)^n}\le \summe^{\infty}\bruch{|\cos{n}|}{(n+1)^n}\le \summe^{\infty}\bruch{1}{(n+1)^n}
[/mm]
Interessant sind dabei eigentlich nur die beiden ganz außen stehenden Reihen. Ihre Konvergenz ist leicht mit dem Wurzelkriterium oder dem Quotientenkriterium zu zeigen.
Dass die in der Mitte stehende Reihe dann auch konvergent ist, folgt aus dem Sandwichkriterium - aber ob Ihr das auch benutzen dürft, weiß ich eben nicht.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
okay also wir dürfen Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium benutzen. Ich habe nicth wirklich eine Ahnung, wie ich da vorgehe und im Nenner steht eig [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> okay also wir dürfen Quotientenkriterium, Wurzelkriterium,
> Majoranten- und Minorantenkriterium benutzen. Ich habe
> nicth wirklich eine Ahnung, wie ich da vorgehe und im
> Nenner steht eig [mm](n+1)^{3}[/mm]
Du hast doch schon eine konvergente Majorante gefunden (Mitteilung), wenn du die Abschätzung zu dieser zeigst, dann ist alles nötige getan.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
okay und Abschätzung heißt was genau?
|
|
|
| |
|
> okay und Abschätzung heißt was genau?
Zeige, dass
$ [mm] \left|\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n)}{(n+1)^{3}}\right|\leq\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{3}} [/mm] $ für $ [mm] n\geq1 [/mm] $
Es steht schon viel analoges im Thread...
LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
Abschätzung heißt: finde etwas, das garantiert größer (oder garantiert kleiner) als das ist, was Du eigentlich untersuchen willst - je nachdem, welches Kriterium Du anwenden willst. Das macht natürlich nur Sinn, wenn das, wogegen Du abschätzst, einfacher zu untersuchen ist als das, was Du eigentlich untersuchen musst.
Abschätzung ist die Standard-Vorgehensweise beim Minoranten- und beim Majorantenkriterium. Vielleicht kennst Du nur das Wort nicht?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also muss ich einfach nur eine Funktion finden, die, in diesem Fall, größer ist also meine gegebene. So aber [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] ist doch größer oder muss ich das für konkrete Werte machen z.B. für n=1 ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also muss ich einfach nur eine Funktion finden, die, in
> diesem Fall, größer ist also meine gegebene. So aber
> [mm]\bruch{1}{n^{3}}[/mm] ist doch größer oder muss ich das für
> konkrete Werte machen z.B. für n=1 ?
Mal angenommen, Du hast eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] auf Konvergenz zu untersuchen.
Nimm weiter an, Du hast eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gefunden und ein N [mm] \in \IN [/mm] mit denEigenschaften:
[mm] $|b_n| \le a_n$ [/mm] für jedes n mit n [mm] \ge [/mm] N und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] ist konvergent.
Dann besagt das Majorantenkriterium: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] ist absolut konvergent, also auch konvergent.
FRED
|
|
|
|
