Grenzwert a der folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Sa 01.11.2008 | | Autor: | seksey |
| Aufgabe | Man bestimme den Grenzwert a der Folge [mm] (a_{n} )_{n\in\IN}, [/mm] wenn
(a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)}{(2n+1)(2n^{2}+1}
[/mm]
(b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{4^{n}+1}{6^{n}+7{n}}
[/mm]
(c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} +(-1)^{n} \bruch{n}{n^2+1} [/mm] |
Meine Freundin fragte mich ob ich ihr bei diesen Aufgaben helfen könne^^. Allderdings muss ich mit entsetzen feststellen das ich echt keinen plan mehr von diesen ganzen Dingen habe :/ ist etwas her...
Kann mir evtl jemand zeigen wie ich diese Aufgabe angehe und wie genau der Lösungsweg aussehen muss ? wäre echt nett ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG !
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Hallo seksey und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man bestimme den Grenzwert a der Folge [mm](a_{n} )_{n\in\IN},[/mm]
> wenn
> (a) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)}{(2n+1)(2n^{2}+1}[/mm]
> (b) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{4^{n}+1}{6^{n}+7{n}}[/mm]
> (c) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^{2}} +(-1)^{n} \bruch{n}{n^2+1}[/mm]
>
> Meine Freundin fragte mich ob ich ihr bei diesen Aufgaben
> helfen könne^^. Allderdings muss ich mit entsetzen
> feststellen das ich echt keinen plan mehr von diesen ganzen
> Dingen habe :/ ist etwas her...
>
> Kann mir evtl jemand zeigen wie ich diese Aufgabe angehe
> und wie genau der Lösungsweg aussehen muss ? wäre echt nett
> ^^
Hier kannst du sehr bequem ausklammern und dann mit den Grenzwertsätzen die GWe bestimmen.
Klammere in (1) sowohl im Zähler als auch im Nenner n aus und kürze es weg, dann sollte die Grenzbetrachtung [mm] $n\to\infty$ [/mm] kein Problem sein
Bei (2) Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $4^n$ [/mm] aus, kürze es weg und dann wieder [mm] $n\to\infty$ [/mm] ansehen
Bei der (3) betrachte die beiden Folgenteile [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] und [mm] $\frac{(-1)^n\cdot{}n}{n^2+1}$ [/mm] getrennt, beim hinteren Ausdruck wieder ausklammern ...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> LG !
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 01.11.2008 | | Autor: | seksey |
Danke schonmal für die schnelle Antwort.
Wäre es grundsätzlich möglich das ganze anhand von a) vorzuführen :X
Wie gesagt bin total aus der Materie raus und bin mir gerade nicht so sicher ob ich das richtig mache ^^
LG seksey
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Hallo nochmal,
> Danke schonmal für die schnelle Antwort.
>
> Wäre es grundsätzlich möglich das ganze anhand von a)
> vorzuführen :X
Jo 
Also: [mm] $\frac{n+1}{(2n+1)(2n^2+1)}=\frac{n+1}{4n^3+2n^2+2n+1}$
[/mm]
Nenner ausmultipliziert, nun n in Zähler und Nenner ausklammern:
[mm] $=\frac{\blue{n}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\blue{n}\cdot{}\left(4n^2+2n+2+\frac{1}{n}\right)}$
[/mm]
Nun n kürzen
[mm] $=\frac{1+\frac{1}{n}}{4n^2+2n+2+\frac{1}{n}} \longrightarrow \frac{1+0}{\infty+\infty+2+0}=\frac{1}{\infty}=0$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Wobei das mit dem [mm] \infty [/mm] etwas lachs geschrieben ist, [mm] \infty [/mm] ist ja keine Zahl, aber festzuhalten ist, dass der Zähler gegen 1 strebt und der Nenner gegen unendlich divergiert, also der Bruch insgesamt gegen 0 konvergiert
> Wie gesagt bin total aus der Materie raus und bin mir
> gerade nicht so sicher ob ich das richtig mache ^^
>
> LG seksey
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 01.11.2008 | | Autor: | seksey |
erstmal vielen Dank für das Beispiel^^
war wol doch erst gar nicht ganz so falsch ;D
Allerdings was ich nun absolut nicht verstehe ist die 2te Aufgabe bezogen auf die erste Aufgabe...
Man gebe für die Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] in Aufgabe 1) zu vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 jeweils ein [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] an, so dass für n >= [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wäre wirklich nice wenn ich dafür noch ein paar Tipps / Ansätze bekommen könnte ;)
LG
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Hallo nochmal,
> erstmal vielen Dank für das Beispiel^^
> war wol doch erst gar nicht ganz so falsch ;D
>
> Allerdings was ich nun absolut nicht verstehe ist die 2te
> Aufgabe bezogen auf die erste Aufgabe...
>
> Man gebe für die Folgen [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] in Aufgabe 1) zu
> vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] > 0 jeweils ein [mm]n_{0}(\varepsilon)[/mm]
> an, so dass für n >= [mm]n_{0}(\varepsilon)[/mm] gilt: [mm]|a_{n}[/mm] - a| <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Hier soll der GW 0 mit der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] nachgewiesen werden, das ist i.A. umständlicher als mit den Grenzwertsätzen, deren Gültigkeit man einmal beweist mit diesem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] und dann immer wieder verwenden kann und nicht jedes Mal aufs Neue sich mit Abschätzungen herumschlagen muss
>
> Wäre wirklich nice wenn ich dafür noch ein paar Tipps /
> Ansätze bekommen könnte ;)
Ok, gib dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und wähle [mm] $n_0(\varepsilon)=....$ [/mm] <-- das füllen wir später
Nun schätzen wir in einer Nebenrechnung [mm] $|a_n-a|$, [/mm] also [mm] $\left|\frac{n+1}{(2n+1)(2n^2+1)}-0\right|=\frac{n+1}{(2n+1)(2n^2+1)}$ [/mm] nach oben ab.
Dazu können wir den Zähler vergrößern und den Nenner verkleinern, machen wir das mal in 2 Schritten, 1.Schritt: im Zähler steht n+1, das können wir durch n+n=2n vergrößern und bekommen
[mm] $\frac{n+1}{(2n+1)(2n^2+1)}\le\frac{2n}{(2n+1)(2n^2+1)}$
[/mm]
Im 2.Schritt verkleinern wir den Nenner, indem wir beide Klammerausdrücke jeweils um 1 verkleinern, also die 1 weglassen
Also [mm] $\frac{2n}{(2n+1)(2n^2+1)}\le\frac{2n}{(2n)(2n^2)}=\frac{2n}{4n^3}=\frac{1}{2n^2}$
[/mm]
Das wollen wir kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] kriegen, also [mm] $\frac{1}{2n^2}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2n^2>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow n^2>\frac{1}{2\varepsilon}\Rightarrow n>\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}$
[/mm]
Damit kannst du nun dein [mm] $n_0(\varepsilon)>\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}$ [/mm] wählen, es oben eintragen und die Ungleichungskette in der Nebenrechnung schön sauber aufschreiben.
Etwa so: Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und wähle [mm] $n_0(\varepsilon)>\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}$, [/mm] etwa [mm] $n_0(\varepsilon)=\left[\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}\right]+1$ [/mm] ([..] ist die Gaußklammer)
Dann gilt für alle [mm] $n\ge n_0(\varepsilon):$
[/mm]
[mm] $|a_n-a|=...=\frac{n+1}{(2n+1)(2n^2+1)}\le [/mm] ... [mm] \le \frac{1}{2n^2}\le\frac{1}{2n_0(\varepsilon)^2}<.....<\varepsilon$
[/mm]
Für die Konstruktion des [mm] $n_0(\varepsilon)$ [/mm] interessiert sich nachher niemand
> LG
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Sa 01.11.2008 | | Autor: | seksey |
wow super ^^
erstmal vielen Dank für die Hilfe^^
das bringt uns einen deutlichen schritt weiter!
wünsche eine gute Nacht
lg
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