Grenzwert bei Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 20.12.2004 | | Autor: | SBDevil |
Hallo!
Ich hab schon wieder eine Frage.
Wie errechne ich bei Reihen den Grenzwert? ZB bei dieser aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)}
[/mm]
Wär nett wenn mir da nochmal wer helfen könnte :)
mfg SBDevil
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo SBDevil!
In diesem Fall wäre es sinnvoll, einen geschlossenen Ausdruck für die Folgenglieder
[mm] $a_n=\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{n(n+1)}}$ [/mm]
zu finden.
Schreiben wir uns doch mal die ersten Glieder auf:
[mm] $a_1=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $a_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$
[/mm]
[mm] $a_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$
[/mm]
Welche Vermutung für die geschlossene Darstellung von [mm] $a_n$ [/mm] liegt nahe, wenn du die ersten drei Glieder [mm] $a_1,a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] betrachtest?
Wenn du einen Ausdruck für [mm] $a_n$ [/mm] vermutest, dann versuche bitte zu beweisen (z.B. über vollständige Induktion), dass er wirklich der Summe [mm] $\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{n(n+1)}}$ [/mm] entspricht.
Wenn du es soweit geschafft hast, ist das Ganze nur noch ein Kinderspiel, da du lediglich n gegen unendlich gehen lassen musst, um den Grenzwert der Reihe zu bestimmen.
Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo, SBDevil
so allgemein läßt sich Deine Frage nicht beantworten ( Reihensummen sind ebenso wie Integrale, einwenig eine "Kunst"),
zu Deinem Beispiel nehme ich aber an, Iht hattet schon Telekopsummen
und
Du bist mit Partialbruchzerlegung vertraut.
Probier also einwenig.
|
|
|
|
