Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 17.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n}=0.5*(a_{n-1}+a_{n-2}). [/mm] Beweisen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{2}{3}.
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Hilfsfolge [mm] x_{n}=a_{n}-a_{n-1} [/mm] und leiten Sie eine Formel her, die [mm] x_{n} [/mm] durch [mm] x_{n-1} [/mm] ausdrückt. |
Guten Tag^^
Ich komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht mehr weiter. Ich hab schon die Formel hergeleitet, sie lautet [mm] x_{n}=-0.5x_{n-1}.
[/mm]
Dann hab ich einige Umformungen gemacht und bin zu [mm] a_{n}=\bruch{2}{3}a_{n+1}-\bruch{1}{3}a_{n-2} [/mm] gekommen.
Jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
lg
Vielen Dank
lg
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Moin Mandy,
> Sei [mm]a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n}=0.5*(a_{n-1}+a_{n-2}).[/mm] Beweisen
> Sie: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{2}{3}.[/mm]
>
> Hinweis: Betrachten Sie die Hilfsfolge [mm]x_{n}=a_{n}-a_{n-1}[/mm]
> und leiten Sie eine Formel her, die [mm]x_{n}[/mm] durch [mm]x_{n-1}[/mm]
> ausdrückt.
> Guten Tag^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht mehr
> weiter. Ich hab schon die Formel hergeleitet, sie lautet
> [mm]x_{n}=-0.5x_{n-1}.[/mm]
Es gilt nun (Teleskopsumme):
[mm] a_n=\sum_{i=2}^n x_i +a_1 [/mm] = [mm] \sum_{i=2}^n x_i
[/mm]
wobei [mm] x_n [/mm] eine geometrische Folge mit [mm] x_2=a_2-a_1=1-0=1 [/mm] ist.
Schreibe die rechte Seite als geometrische Summe. Die kannst du dann ausrechnen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 17.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hey kamaleonti,
> > weiter. Ich hab schon die Formel hergeleitet, sie lautet
> > [mm]x_{n}=-0.5x_{n-1}.[/mm]
> Es gilt nun (Teleskopsumme):
>
> [mm]a_n=\sum_{i=2}^n x_n +a_1[/mm] = [mm]\sum_{i=2}^n x_n[/mm]
>
Ich verstehe nicht wie du von [mm] x_{n}-0.5x_{n-1} [/mm] auf die Teleskopsumme kommst. Woher weißt du,dass die Teleskopsumme gilt?
> wobei [mm]x_n[/mm] eine geometrische Folge mit [mm]x_2=a_2-a_1=1-0=1[/mm]
> ist.
> Schreibe die rechte Seite als geometrische Summe. Die
> kannst du dann ausrechnen.
Ich habe jetzt [mm] a_n=\sum_{i=2}^n x_n=\sum_{i=2}^n -0.5x_(n-1)=-0.5*(x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1})=-0.5*(1+a_{3}-1+...+x_{n-1}). [/mm]
Die Summanden heben sich aber wieder auf (da es ja eine Teleskopsumme ist) und ich bekomme [mm] a_{n}=a_{n}.
[/mm]
Oder ich ersetze [mm] x_{n} [/mm] nicht durch [mm] x_{n-1}. [/mm] Dann habe ich
[mm] a_n=\sum_{i=2}^n x_n=1-0+a_{3}-1+a_{4}-a_{3}+...+a_{n}-a_{n-1}.
[/mm]
Also das gleiche wie oben, es hebt sich alles weg.
Was mache ich denn nun?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> Hey kamaleonti,
>
> > > weiter. Ich hab schon die Formel hergeleitet, sie lautet
> > > [mm]x_{n}=-0.5x_{n-1}.[/mm]
> > Es gilt nun (Teleskopsumme):
> >
> > [mm]a_n=\sum_{i=2}^n x_i +a_1[/mm] = [mm]\sum_{i=2}^n x_i[/mm]
> >
>
> Ich verstehe nicht wie du von [mm]x_{n}-0.5x_{n-1}[/mm] auf die
> Teleskopsumme kommst. Woher weißt du,dass die Teleskopsumme gilt?
Die Teleskopsumme sieht man anhand der Definition von [mm] x_n:=a_n-a_{n-1}. [/mm] Wenn du über die [mm] x_i [/mm] summierst, hebt sich ziemlich viel weg.
>
> > wobei [mm]x_n[/mm] eine geometrische Folge mit [mm]x_2=a_2-a_1=1-0=1[/mm]
> > ist.
> > Schreibe die rechte Seite als geometrische Summe. Die
> > kannst du dann ausrechnen.
>
> Ich habe jetzt [mm]a_n=\sum_{i=2}^n x_i=\sum_{i=2}^n -0.5x_{i-1}=-0.5*(x_{1}+x_{2}+...+x_{i-1})=-0.5*(1+a_{3}-1+...+x_{n-1}).[/mm]
Nein, so funktioniert das nicht.
Aber so (formaler Beweis Induktion):
[mm] x_2=1 [/mm] und [mm] x_n=(-0,5)x_{n-1}=(-0,5)^2x_{n-2}=\ldots=(-0.5)^{n-2}x_2=(-0.5)^{n-2}
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \sum_{i=2}^n x_i=\sum_{i=2}^n (-0.5)^{i-2}=\sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{j}= [/mm] ?
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Nein, so funktioniert das nicht.
>
> Aber so (formaler Beweis Induktion):
>
> [mm]x_2=1[/mm] und
> [mm]x_n=(-0,5)x_{n-1}=(-0,5)^2x_{n-2}=\ldots=(-0.5)^{n-2}x_2=(-0.5)^{n-2}[/mm]
>
> Damit folgt:
>
> [mm]\sum_{i=2}^n x_i=\sum_{i=2}^n (-0.5)^{i-2}=\sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{j}=[/mm]
> ?
Ich habe ein paar Testwerte eingesetzt und der Grenzwert der Summe ist 2/3. Darf ich das schon so aufschreiben, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{j}=2/3 [/mm] ist?
Oder muss man noch Umformungen machen, weil [mm] (-0.5)^{j} [/mm] kann ich nicht groß umformen, außer dass ich mir j gerade und ungerade anschaue, also [mm] \sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{2j} [/mm] und [mm] \sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{2j+1}.
[/mm]
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Nein, so funktioniert das nicht.
> >
> > Aber so (formaler Beweis Induktion):
> >
> > [mm]x_2=1[/mm] und
> >
> [mm]x_n=(-0,5)x_{n-1}=(-0,5)^2x_{n-2}=\ldots=(-0.5)^{n-2}x_2=(-0.5)^{n-2}[/mm]
> >
> > Damit folgt:
> >
> > [mm]\sum_{i=2}^n x_i=\sum_{i=2}^n (-0.5)^{i-2}=\sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{j}=[/mm]
> > ?
>
> Ich habe ein paar Testwerte eingesetzt und der Grenzwert
> der Summe ist 2/3. Darf ich das schon so aufschreiben, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{j}=2/3[/mm]
> ist?
Liebe Mandy,
heute habe ich meinen großzügigen Tag und verrate Dir etwas, was außer mir niemand weiß:
Ist q [mm] \in \IR [/mm] und |q| <1, so ist die Folge [mm] (\summe_{i=1}^{n}q^i)_{n \in \IN_0} [/mm] konvergent und hat den Grenzwert [mm] \bruch{1}{1-q}.
[/mm]
Für diese Folge habe ich mir eine andere Bezeichnung ausgedacht, nämlich
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}q^i
[/mm]
und habe sie "geometrische Reihe " genannt. Zuerst hab ich mir überlegt, ob ich sie nicht die "Fredsche Reihe" nennen soll, habs dann aber gelassen, denn ich bin ein bescheidener Mensch.
Fredsche Grüße
> Oder muss man noch Umformungen machen, weil [mm](-0.5)^{j}[/mm]
> kann ich nicht groß umformen, außer dass ich mir j gerade
> und ungerade anschaue, also [mm]\sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{2j}[/mm]
> und [mm]\sum_{j=0}^{n-2} (-0.5)^{2j+1}.[/mm]
>
> Vielen Dank
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Liebe Mandy,
>
> heute habe ich meinen großzügigen Tag und verrate Dir
> etwas, was außer mir niemand weiß:
>
> Ist q [mm]\in \IR[/mm] und |q| <1, so ist die Folge
> [mm](\summe_{i=1}^{n}q^i)_{n \in \IN_0}[/mm] konvergent und hat den
> Grenzwert [mm]\bruch{1}{1-q}.[/mm]
>
> Für diese Folge habe ich mir eine andere Bezeichnung
> ausgedacht, nämlich
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}q^i[/mm]
>
> und habe sie "geometrische Reihe " genannt. Zuerst hab ich
> mir überlegt, ob ich sie nicht die "Fredsche Reihe" nennen
> soll, habs dann aber gelassen, denn ich bin ein
> bescheidener Mensch.
Das ist sehr nett von dir, dass du mir dieses Geheimnis mitteilst, Danke sehr, jetzt ist es einleuchtend. Und da du so bescheiden bist, sollst du belohnt werden.
Ich nenne diese Reihe jetzt die "Fredsche Reihe" =).
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 19.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
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> > Das ist sehr nett von dir, dass du mir dieses Geheimnis
> > mitteilst, Danke sehr, jetzt ist es einleuchtend. Und da du
> > so bescheiden bist, sollst du belohnt werden.
> > Ich nenne diese Reihe jetzt die "Fredsche Reihe" =).
> >
> > lg
> >
> Plagiat!!! ![[captain]](/images/smileys/captain.gif "[captain]") Siehe Script GM von Agricola; ja, ja,
> das ist weiterhin zu verwenden, also bitte entstauben!
> ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]")
>
Ist schon entstaubt, wusste aber nicht, dass es da drin steht, gut zu wissen ;).
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