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| Aufgabe | Hi, meine Aufgabe lautet:
Skizzieren Sie jeweils die ersten Glieder der Folge [mm] (x_k) [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] und Berechen Sie den Grenzwert für k [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
[mm] x_k [/mm] := [mm] (\bruch{k-1}{k} [/mm] , [mm] \bruch{1}{k})
[/mm]
mfg |
Um mir die ersten Glieder der Folge anzusehen habe ich einfach für k eingesetzt und erhalte somit:
[mm] x_1 [/mm] = (0,1)
[mm] x_2 [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] (\bruch{2}{3} [/mm] , [mm] \bruch{1}{3})
[/mm]
Nur wie muss ich jetzt weiter machen.
Soll ich nun [mm] \bruch{k-1}{k} [/mm] und [mm] \bruch{1}{k} [/mm] jeweils mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] ansehen.
Dann würde dies doch für
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k-1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{k(1-1/k)}{k} [/mm] = 1-1/k = 1
Und nun für den zweiten
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = 0
Könnt ihr mir bitte helfen
Danke
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Alles klar danke, ich habe in diesem Fall aber noch ein zweites Beispiel:
und zwar:
$ [mm] x_k [/mm] $ := $ ((- [mm] \bruch{k+1}{k})^k [/mm] $ , $ [mm] (-1)^{k+1}) [/mm] $
Die Glieder wären:
[mm] x_1 [/mm] =( -2 , 1 ) ,......
Nun aber:
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] (- [mm] \bruch{k+1}{k})^k [/mm] $ = $ (- [mm] \bruch{k(1+1/k)}{k})^k [/mm] $ =$ (- 1+ [mm] \overbrace{1/k}^{0})^k [/mm] $ = [mm] (-1)^k [/mm]
Und dieser Grenzwert liegt doch bei -1 wenn k = ungerade bzw. bei 1 wenn k = gerade
Zweiter Teil
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] (-1)^{k+1}) [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] * (-1)
Somit selbes Spiel wie oben nur umgekehrt:
Also
wenn k gerade ist der Grenzwert (-1) und falls k ungerade ist der Grenzwrt (+1)
Stimmt meine Annahme?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar danke, ich habe in diesem Fall aber noch ein
> zweites Beispiel:
>
>
> und zwar:
>
> [mm]x_k[/mm] := [mm]((- \bruch{k+1}{k})^k[/mm] , [mm](-1)^{k+1})[/mm]
>
> Die Glieder wären:
>
> [mm]x_1[/mm] =( -2 , 1 ) ,......
>
>
> Nun aber:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (- \bruch{k+1}{k})^k[/mm] = [mm](- \bruch{k(1+1/k)}{k})^k[/mm]
> =[mm] (- 1+ \overbrace{1/k}^{0})^k[/mm] = [mm](-1)^k[/mm]
>
> Und dieser Grenzwert liegt doch bei -1 wenn k = ungerade
> bzw. bei 1 wenn k = gerade
#
Unsinn. Es ist [mm] (-\bruch{k+1}{k})^k=(-1)^k(1+\bruch{1}{k})^k
[/mm]
Diese Folge hat keinen Grenzwert, aber 2 Häufungspunkte: e und -e.
>
>
> Zweiter Teil
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] [mm](-1)^{k+1})[/mm] = [mm](-1)^k[/mm] * (-1)
>
> Somit selbes Spiel wie oben nur umgekehrt:
>
> Also
>
> wenn k gerade ist der Grenzwert (-1) und falls k ungerade
> ist der Grenzwrt (+1)
Nein. Die Folge [mm] (-1)^k [/mm] hat keinen Grenzwert, aber 2 Häufungspunkte: 1 und -1
FRED
>
> Stimmt meine Annahme?
>
> mfg
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Ok alles klar, danke dir Fred97.
Die Folge hat zwar keine Grenzwert aber beschränkt ist Sie doch oder in den Schranken e , - e und 1 , -1.
Jetzt gilt es bei mir noch eine Konstante C anzugeben für || [mm] x_k|| \le [/mm] C für x [mm] \in \IN [/mm]
Wie mach ich dies am besten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok alles klar, danke dir Fred97.
>
> Die Folge hat zwar keine Grenzwert aber beschränkt ist Sie
> doch oder in den Schranken e , - e und 1 , -1.
>
> Jetzt gilt es bei mir noch eine Konstante C anzugeben für
> || [mm]x_k|| \le[/mm] C für x [mm]\in \IN[/mm]
>
> Wie mach ich dies am besten?
Berechne die Norm und schätze ab.
FRED
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>
> Berechne die Norm und schätze ab.
Soll ich nun wieder die Norm der ersten und getrennt die Norm der Zweiten betrachten
Also
$|| (- [mm] \bruch{k+1}{k})^k [/mm] ||$ und $ [mm] ||(-1)^{k+1}|| [/mm] $
Oder gibt es dabei einen anderen Trick?
>
> FRED
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Es geht um [mm] ||x_k||
[/mm]
FRED
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> Es geht um [mm]||x_k||[/mm]
>
Das ist mir schon klar, nur wei stelle ich dies jetzt an:
Ich Vermute einmal es geht um die [mm] l^2 [/mm] Norm, also
[mm] \|(x_k)\|_{\ell^p} [/mm] := [mm] \left( \sum_{n=1}^\infty |x_k|^p \right)^{1/p}.
[/mm]
Doch wenn ich nun die Folge einsetze komme ich nicht weiter...
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Es geht um [mm]||x_k||[/mm]
> >
>
> Das ist mir schon klar, nur wei stelle ich dies jetzt an:
>
> Ich Vermute einmal es geht um die [mm]l^2[/mm] Norm, also
>
>
> [mm]\|(x_k)\|_{\ell^p}[/mm] := [mm]\left( \sum_{n=1}^\infty |x_k|^p \right)^{1/p}.[/mm]
>
>
> Doch wenn ich nun die Folge einsetze komme ich nicht
> weiter...
Es ist
$ [mm] x_k [/mm] $ := $ ((- [mm] \bruch{k+1}{k})^k [/mm] $ , $ [mm] (-1)^{k+1}) [/mm] $
Also ist
[mm] ||x_k||= \wurzel{((- \bruch{k+1}{k})^k)^2+((-1)^{k+1}))^2}
[/mm]
Jetzt rechnen.
FRED
>
> > FRED
>
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> [mm]x_k[/mm] := [mm]((- \bruch{k+1}{k})^k[/mm] , [mm](-1)^{k+1})[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]||x_k||= \wurzel{((- \bruch{k+1}{k})^k)^2+((-1)^{k+1}))^2}[/mm]
>
> Jetzt rechnen.
Ahhh, alles klar :)
bitte verbessere mich:
[mm] \wurzel{((- \bruch{k+1}{k})^k)^2+((-1)^{k+1}))^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)^k(1+1/k)^{k})^2+((-1)^k(-1))^2}
[/mm]
Da ich nun den Betrag nehme fallen doch meine [mm] (-1)^k [/mm] weg und es bleibt übrig:
[mm] \wurzel{(1+1/k)^{k})^2+(-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(1+1/k)^{k})^2} [/mm] + [mm] \wurzel{1} [/mm] = [mm] (1+1/k)^{k} [/mm] +1
Nun weiß ich doch, dass der Grenzwert von [mm] (1+1/k)^{k} [/mm] e ist.
Also
[mm] \underbrace{(1+1/k)^{k}}_{\limes_{k\rightarrow\infty}} [/mm] + 1 = e +1
Hast du das so gemeint?
Danke dir
>
> FRED
>
> >
> > > FRED
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel{a+b} [/mm] wirklich [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ??
also [mm] \wurzel{2+2}=2=\wurzel{2}+\wurzel{2}?
[/mm]
du hast grade gezeigt, dass [mm] \wurzel{2}=1
[/mm]
TU DAS NIE WIEDER
Gruss leduart
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> Hallo
> [mm]\wurzel{a+b}[/mm] wirklich [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm] ??
> also [mm]\wurzel{2+2}=2=\wurzel{2}+\wurzel{2}?[/mm]
> du hast grade gezeigt, dass [mm]\wurzel{2}=1[/mm]
> TU DAS NIE WIEDER
Ach ja war mir eh schon seltsam vorgekommen....
würde denn mein Rechenweg bis dorthin stimmen also:
$ [mm] \wurzel{((- \bruch{k+1}{k})^k)^2+((-1)^{k+1}))^2} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{(-1)^k(1+1/k)^{k})^2+((-1)^k(-1))^2} [/mm] $
Da ich nun den Betrag nehme fallen doch meine $ [mm] (-1)^k [/mm] $ weg und es bleibt übrig:
$ [mm] \wurzel{(1+1/k)^{k})^2+(-1)^2} [/mm] $
Dann würde ich abschätzen (obwohl ich mir auch hier nicht sicher bin ob dies erlaubt ist)
Darum
$ [mm] \wurzel{(1+1/k)^{k})^2+(-1)^2} [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \wurzel{(1+1/k)^{k})^2 + (1+1/k)^{k})^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel{2(1+1/k)^{k})^2} [/mm] = [mm] 2(1+1/k)^{k}
[/mm]
Wenn ich nun wieder mit dem limes k gegen unendlich laufen lasse erhalte ich:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} 2(1+1/k)^{k} [/mm] = 2e
hmm....
> Gruss leduart
Ach
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> > [mm]\wurzel{a+b}[/mm] wirklich [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm] ??
> > also [mm]\wurzel{2+2}=2=\wurzel{2}+\wurzel{2}?[/mm]
> > du hast grade gezeigt, dass [mm]\wurzel{2}=1[/mm]
> > TU DAS NIE WIEDER
>
> Ach ja war mir eh schon seltsam vorgekommen....
>
>
> würde denn mein Rechenweg bis dorthin stimmen also:
>
>
> [mm]\wurzel{((- \bruch{k+1}{k})^k)^2+((-1)^{k+1}))^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(-1)^k(1+1/k)^{k})^2+((-1)^k(-1))^2}[/mm]
wenn Du die fehlende erste Klammer (nach dem Gleichheitszeichen unter der Wurzel) ergänzt sicher schon.
> Da ich nun den Betrag nehme fallen doch meine [mm](-1)^k[/mm] weg
> und es bleibt übrig:
Was hat das mit "Betrag nehmen" zu tun? Es gilt [mm] $((-1)^k*a^k)^2=(-1)^{2k}*a^{2k}=((-1)^2)^k*a^{2k}=1^k*a^{2k}=a^{2k}\;\;(=(a^k)^2)\,.$ [/mm] Sowas benutzt Du!
> [mm]\wurzel{(1+1/k)^{k})^2+(-1)^2}[/mm]
>
> Dann würde ich abschätzen (obwohl ich mir auch hier nicht
> sicher bin ob dies erlaubt ist)
>
> Darum
>
>
> [mm]\wurzel{(1+1/k)^{k})^2+(-1)^2}[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\wurzel{(1+1/k)^{k})^2 + (1+1/k)^{k})^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{2(1+1/k)^{k})^2}[/mm] = [mm]2(1+1/k)^{k}[/mm]
>
> Wenn ich nun wieder mit dem limes k gegen unendlich laufen
> lasse erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} 2(1+1/k)^{k}[/mm] = 2e
Dass der Grenzwert hier eine (obere) Schranke ist, passt nun nur deshalb, weil die reellwertige nichtnegative Folge [mm] $((1+1/k)^k)_{k \in \IN}$ [/mm] (streng) monoton wächst (gegen [mm] $e\,$). [/mm] Generell hast Du ja eine von [mm] $k\,$ [/mm] unabhängige Schranke $C > [mm] 0\,$ [/mm] so anzugeben, dass [mm] $\|x_k\| \le [/mm] C$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] gilt.
Du hättest aber auch einfach [mm] $\sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}$ [/mm] (für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$) benutzen können (die GLEICHHEIT ist i.a. falsch, dass [mm] $\le$ [/mm] aber nicht!). Dann wäre etwa
$$0 [mm] \le \|x_k\|=...=\sqrt{(1+1/k)^{2k}+1} \le \sqrt{((1+1/k)^k)^2}+\sqrt{1}=|(1+1/k)^k|+1=(1+1/k)^k+1$$
[/mm]
erkennbar (für jedes [mm] $k\,$). [/mm] Und toll ist, dass [mm] $((1+1/k)^k)_k$ [/mm] durch [mm] $e\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist (aber Du könntest auch jede Zahl $> [mm] e\,$ [/mm] als Schranke nehmen, etwa [mm] $\pi$ [/mm] oder [mm] $\frac{97}{17}$ [/mm] oder ...).
Jedenfalls würdest Du auf diesem Wege [mm] $e+1\,$ [/mm] als obere Schranke für die Folge [mm] $(\|x_k\|)_k$ [/mm] erhalten!
P.S.
Beweise, dass [mm] $\sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}$ [/mm] für alle $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt. Tipp: Mach' Dir zunächst klar, dass für reelle $r,s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt: $r [mm] \le [/mm] s [mm] \gdw r^2 \le s^2\,.$
[/mm]
P.P.S.
1.) Wie würde man argumentieren, wenn man folgendes zeigen wollte:
Wir betrachten die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n=(r_n,s_n) \in \IR^2\,,$ [/mm] die gegen ein $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert. Zeige, dass [mm] $(\|x_n\|)_n$ [/mm] beschränkt ist.
Tipp:
Man kann etwa Skript: Bemerkung 8.17 benutzen, um aus [mm] $\|(r_n,s_n)-(r,s)\|=\|(r_n-r,s_n-s)\| \to [/mm] 0$ zu folgern, dass die reellwertigen Folgen [mm] $(r_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(s_n)_n$ [/mm] (gegen [mm] $r\,$ [/mm] bzw. [mm] $s\,$) [/mm] konvergieren. Dann verwende Satz 5.4 in obigem Skript. Der Rest folgt analog zu Deiner Aufgabe.
2.) Eigentlich noch einfacher: Wie erkennt man, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n=(r_n,s_n) \in \IR^2$ [/mm] JEDENFALLS dann beschränkt ist (d.h. [mm] $(\|x_n\|)_n$ [/mm] ist (nach oben) beschränkt), wenn die reellen Folgen [mm] $(r_n)_n$ [/mm] und [mm] $(s_n)_n$ [/mm] beide beschränkt sind?
(Edit: Ich hatte anstelle des "jedenfalls" erst ein "genau dann, wenn" stehen. Das ist aber Quatsch, wie [mm] $r_n:=n$ [/mm] und [mm] $s_n:=-n$ [/mm] direkt zeigen!)
Diese Aufgaben musst Du natürlich nicht bearbeiten, sollten Dir aber enorm helfen, Deine Aufgabe besser zu verstehen.
Gruß,
Marcel
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Na Wusch danke danke danke , werde mich aufjedenfall ransetzen
Zitat
"Beweise, dass $ [mm] \sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b} [/mm] $ für alle $ a,b [mm] \ge [/mm] 0 $ gilt"
Darf ich dabei nicht einfach beide seite quadrieren, also
[mm] $\sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b} [/mm] $ $ [mm] |^2$
[/mm]
= [mm] (\sqrt{a+b})^2 \le (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2
[/mm]
a+b [mm] \le [/mm] a [mm] +2\sqrt{a}\sqrt{b} [/mm] +b
Somit ist die Linke Seite eindeutig kleiner
mfg
Steffen
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
