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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert
[mm]\lim_{x \to 0}((1- \cos x) /x^2)[/mm] |
Aus den vorherigen Aufgaben weiß ich,
dass der Limes für x gegen 0 von [mm](\sin x)/x[/mm] gleich 1 ist,
und irgendwie hängt das mit diesem hier zusammen, also schätze ich,
dass der Grenzwert dieser Aufgabe auch nicht 0 ist, sondern vllt. 1 !?
Ist es vielleicht richtig, der ganzen Sache mit 1 = sin²x + cos²x beizukommen? Vielleicht kann man daraus dann dieses 1-cosx konstruieren.
Eine gewisse Ähnlichkeit zu sinx/x besteht ja, aber irgendwie bin ich ein wenig verwirrt.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Dhana |
Ich würde es mal mit der Regel von l'Hospital versuchen, also getrennt Zähler und Nenner ableiten bis der Grenzwert leichter zu erkennen ist. Da sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 gehen für x gegen Null kann man die Regel hier anwenden.
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Vielen Dank!
Also wir hatten die L'Hospitalsche Regel noch nicht in der Vorlesung, also glaube ich, dass die Aufgabe auf etwas anderes hinführenwill.
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Hallo robbonaut!
> Bestimmen Sie den Grenzwert
>
> [mm]\lim_{x \to 0}((1- \cos x) /x^2)[/mm]
> Aus den vorherigen
> Aufgaben weiß ich,
> dass der Limes für x gegen 0 von [mm](\sin x)/x[/mm] gleich 1 ist,
> Ist es vielleicht richtig, der ganzen Sache mit 1 = sin²x +
> cos²x beizukommen? Vielleicht kann man daraus dann dieses
> 1-cosx konstruieren.
Genau. Es ist
[mm]sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = (1-cos(x)) * (1+cos(x))[/mm]
Und daher gilt
[mm](\bruch{sin(x)}{x})^2 = \bruch {1-cos(x)}{x^2} * (1+cos(x)) \gdw \bruch {1-cos(x)}{x^2} = (\bruch{sin(x)}{x})^2 * \bruch{1}{(1+cos(x))} [/mm]
Insgesamt also
[mm]\lim_{x \to 0}\bruch {1-cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} (\bruch{sin(x)}{x})^2 * \bruch{1}{(1+cos(x))} = 1^2 * \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2}[/mm]
Mit l'Hopital kommt dasselbe heraus.
LG
Karsten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 21.05.2007 | | Autor: | robbonaut |
Danke!! Ich glaub, das isses.
cool.
lg,
robin
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